Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18870 / 14470
↖ ↑ ↗
← N 20.571082°
E 27.312012°		 ← 1 143.74 m → N 20.571082°
E 27.322998°		 →
↑
1 143.79 m
↓
↑
1 143.79 m
↓
N 20.560796°
E 27.312012°		 ← 1 143.82 m →
1 308 242 m²		 N 20.560796°
E 27.322998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575881958007812 y=0.441604614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575881958007812 × 215)
    floor (0.575881958007812 × 32768)
    floor (18870.5)     		tx = 18870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441604614257812 × 215)
    floor (0.441604614257812 × 32768)
    floor (14470.5)     		ty = 14470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18870 / 14470 ti = "15/18870/14470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18870/14470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18870 ÷ 215
    18870 ÷ 32768     		x = 0.57586669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14470 ÷ 215
    14470 ÷ 32768     		y = 0.44158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57586669921875 × 2 - 1) × π
    0.1517333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47668453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44158935546875 × 2 - 1) × π
    0.1168212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.36700490349115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47668453} λ = 0.47668453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.36700490349115))-π/2
    2×atan(1.44340499682145)-π/2
    2×0.964914718262092-π/2
    1.92982943652418-1.57079632675     		φ = 0.35903311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47668453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.312012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35903311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.571082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18870 KachelY 14470 0.47668453 0.35903311 27.312012 20.571082
    Oben rechts KachelX + 1 18871 KachelY 14470 0.47687628 0.35903311 27.322998 20.571082
    Unten links KachelX 18870 KachelY + 1 14471 0.47668453 0.35885358 27.312012 20.560796
    Unten rechts KachelX + 1 18871 KachelY + 1 14471 0.47687628 0.35885358 27.322998 20.560796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35903311-0.35885358) × R
    0.000179529999999983 × 6371000     		dl = 1143.78562999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35903311-0.35885358) × R
    0.000179529999999983 × 6371000     		dr = 1143.78562999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47668453-0.47687628) × cos(0.35903311) × R
    0.000191749999999991 × 0.936236996584442 × 6371000     		do = 1143.74386232961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47668453-0.47687628) × cos(0.35885358) × R
    0.000191749999999991 × 0.936300062801366 × 6371000     		du = 1143.82090649556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35903311)-sin(0.35885358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936236996584442-0.936300062801366)×R²
    abs(0.47687628-0.47668453)×6.30662169237572e-05×R²
    0.000191749999999991×6.30662169237572e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.30662169237572e-05×40589641000000     		ar = 1308241.85865177m²