Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1887 / 1377
↖ ↑ ↗
← N 75.834418°
W 97.075195°		 ← 1 195.85 m → N 75.834418°
W 97.031250°		 →
↑
1 196.28 m
↓
↑
1 196.28 m
↓
N 75.823660°
W 97.075195°		 ← 1 196.74 m →
1 431 103 m²		 N 75.823660°
W 97.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23040771484375 y=0.16815185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23040771484375 × 213)
    floor (0.23040771484375 × 8192)
    floor (1887.5)     		tx = 1887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16815185546875 × 213)
    floor (0.16815185546875 × 8192)
    floor (1377.5)     		ty = 1377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1887 / 1377 ti = "13/1887/1377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1887/1377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1887 ÷ 213
    1887 ÷ 8192     		x = 0.2303466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1377 ÷ 213
    1377 ÷ 8192     		y = 0.1680908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2303466796875 × 2 - 1) × π
    -0.539306640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.69428178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1680908203125 × 2 - 1) × π
    0.663818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08544688107092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69428178} λ = -1.69428178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08544688107092))-π/2
    2×atan(8.04818726073712)-π/2
    2×1.4471783038003-π/2
    2.89435660760059-1.57079632675     		φ = 1.32356028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69428178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.075195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32356028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.834418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1887 KachelY 1377 -1.69428178 1.32356028 -97.075195 75.834418
    Oben rechts KachelX + 1 1888 KachelY 1377 -1.69351479 1.32356028 -97.031250 75.834418
    Unten links KachelX 1887 KachelY + 1 1378 -1.69428178 1.32337251 -97.075195 75.823660
    Unten rechts KachelX + 1 1888 KachelY + 1 1378 -1.69351479 1.32337251 -97.031250 75.823660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32356028-1.32337251) × R
    0.000187769999999921 × 6371000     		dl = 1196.28266999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32356028-1.32337251) × R
    0.000187769999999921 × 6371000     		dr = 1196.28266999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69428178--1.69351479) × cos(1.32356028) × R
    0.000766990000000023 × 0.244724989057924 × 6371000     		do = 1195.8470169269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69428178--1.69351479) × cos(1.32337251) × R
    0.000766990000000023 × 0.24490704513254 × 6371000     		du = 1196.73663271392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32356028)-sin(1.32337251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244724989057924-0.24490704513254)×R²
    abs(-1.69351479--1.69428178)×0.000182056074616077×R²
    0.000766990000000023×0.000182056074616077×6371000²
    0.000766990000000023×0.000182056074616077×40589641000000     		ar = 1431103.18250075m²