Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1887 / 1249
↖ ↑ ↗
← N 57.279043°
W 14.150391°		 ← 5 282.77 m → N 57.279043°
W 14.062500°		 →
↑
5 286.21 m
↓
↑
5 286.21 m
↓
N 57.231503°
W 14.150391°		 ← 5 289.59 m →
27 943 855 m²		 N 57.231503°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4608154296875 y=0.3050537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4608154296875 × 212)
    floor (0.4608154296875 × 4096)
    floor (1887.5)     		tx = 1887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3050537109375 × 212)
    floor (0.3050537109375 × 4096)
    floor (1249.5)     		ty = 1249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1887 / 1249 ti = "12/1887/1249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1887/1249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1887 ÷ 212
    1887 ÷ 4096     		x = 0.460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1249 ÷ 212
    1249 ÷ 4096     		y = 0.304931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.304931640625 × 2 - 1) × π
    0.39013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2256506494856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24697091} λ = -0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2256506494856))-π/2
    2×atan(3.4063817224257)-π/2
    2×1.28525210770773-π/2
    2.57050421541546-1.57079632675     		φ = 0.99970789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99970789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.279043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1887 KachelY 1249 -0.24697091 0.99970789 -14.150391 57.279043
    Oben rechts KachelX + 1 1888 KachelY 1249 -0.24543693 0.99970789 -14.062500 57.279043
    Unten links KachelX 1887 KachelY + 1 1250 -0.24697091 0.99887816 -14.150391 57.231503
    Unten rechts KachelX + 1 1888 KachelY + 1 1250 -0.24543693 0.99887816 -14.062500 57.231503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99970789-0.99887816) × R
    0.000829730000000084 × 6371000     		dl = 5286.20983000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99970789-0.99887816) × R
    0.000829730000000084 × 6371000     		dr = 5286.20983000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24697091--0.24543693) × cos(0.99970789) × R
    0.00153397999999999 × 0.540548084902491 × 6371000     		do = 5282.76917959671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24697091--0.24543693) × cos(0.99887816) × R
    0.00153397999999999 × 0.541245961487789 × 6371000     		du = 5289.58951809933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99970789)-sin(0.99887816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.540548084902491-0.541245961487789)×R²
    abs(-0.24543693--0.24697091)×0.000697876585298629×R²
    0.00153397999999999×0.000697876585298629×6371000²
    0.00153397999999999×0.000697876585298629×40589641000000     		ar = 27943854.8401933m²