Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1887 / 1246
↖ ↑ ↗
← N 57.421295°
W 14.150391°		 ← 5 262.34 m → N 57.421295°
W 14.062500°		 →
↑
5 265.76 m
↓
↑
5 265.76 m
↓
N 57.373938°
W 14.150391°		 ← 5 269.14 m →
27 728 128 m²		 N 57.373938°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4608154296875 y=0.3043212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4608154296875 × 212)
    floor (0.4608154296875 × 4096)
    floor (1887.5)     		tx = 1887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3043212890625 × 212)
    floor (0.3043212890625 × 4096)
    floor (1246.5)     		ty = 1246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1887 / 1246 ti = "12/1887/1246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1887/1246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1887 ÷ 212
    1887 ÷ 4096     		x = 0.460693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1246 ÷ 212
    1246 ÷ 4096     		y = 0.30419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460693359375 × 2 - 1) × π
    -0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30419921875 × 2 - 1) × π
    0.3916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23025259184912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24697091} λ = -0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23025259184912))-π/2
    2×atan(3.42209382013545)-π/2
    2×1.28649348733748-π/2
    2.57298697467496-1.57079632675     		φ = 1.00219065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00219065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.421295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1887 KachelY 1246 -0.24697091 1.00219065 -14.150391 57.421295
    Oben rechts KachelX + 1 1888 KachelY 1246 -0.24543693 1.00219065 -14.062500 57.421295
    Unten links KachelX 1887 KachelY + 1 1247 -0.24697091 1.00136413 -14.150391 57.373938
    Unten rechts KachelX + 1 1888 KachelY + 1 1247 -0.24543693 1.00136413 -14.062500 57.373938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00219065-1.00136413) × R
    0.000826519999999942 × 6371000     		dl = 5265.75891999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00219065-1.00136413) × R
    0.000826519999999942 × 6371000     		dr = 5265.75891999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24697091--0.24543693) × cos(1.00219065) × R
    0.00153397999999999 × 0.538457642488981 × 6371000     		do = 5262.33931394321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24697091--0.24543693) × cos(1.00136413) × R
    0.00153397999999999 × 0.539153927698765 × 6371000     		du = 5269.14409995429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00219065)-sin(1.00136413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.538457642488981-0.539153927698765)×R²
    abs(-0.24543693--0.24697091)×0.000696285209784708×R²
    0.00153397999999999×0.000696285209784708×6371000²
    0.00153397999999999×0.000696285209784708×40589641000000     		ar = 27728127.9422867m²