Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18867 / 14477
↖ ↑ ↗
← N 20.499065°
E 27.279053°		 ← 1 144.22 m → N 20.499065°
E 27.290039°		 →
↑
1 144.36 m
↓
↑
1 144.36 m
↓
N 20.488773°
E 27.279053°		 ← 1 144.30 m →
1 309 446 m²		 N 20.488773°
E 27.290039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575790405273438 y=0.441818237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575790405273438 × 215)
    floor (0.575790405273438 × 32768)
    floor (18867.5)     		tx = 18867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441818237304688 × 215)
    floor (0.441818237304688 × 32768)
    floor (14477.5)     		ty = 14477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18867 / 14477 ti = "15/18867/14477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18867/14477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18867 ÷ 215
    18867 ÷ 32768     		x = 0.575775146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14477 ÷ 215
    14477 ÷ 32768     		y = 0.441802978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575775146484375 × 2 - 1) × π
    0.15155029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47610929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441802978515625 × 2 - 1) × π
    0.11639404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.365662670301788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47610929} λ = 0.47610929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365662670301788))-π/2
    2×atan(1.44146891035945)-π/2
    2×0.964286246054318-π/2
    1.92857249210864-1.57079632675     		φ = 0.35777617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47610929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.279053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35777617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.499065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18867 KachelY 14477 0.47610929 0.35777617 27.279053 20.499065
    Oben rechts KachelX + 1 18868 KachelY 14477 0.47630103 0.35777617 27.290039 20.499065
    Unten links KachelX 18867 KachelY + 1 14478 0.47610929 0.35759655 27.279053 20.488773
    Unten rechts KachelX + 1 18868 KachelY + 1 14478 0.47630103 0.35759655 27.290039 20.488773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35777617-0.35759655) × R
    0.000179619999999991 × 6371000     		dl = 1144.35901999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35777617-0.35759655) × R
    0.000179619999999991 × 6371000     		dr = 1144.35901999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47610929-0.47630103) × cos(0.35777617) × R
    0.000191739999999996 × 0.936677906839994 × 6371000     		do = 1144.22281985411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47610929-0.47630103) × cos(0.35759655) × R
    0.000191739999999996 × 0.936740793232409 × 6371000     		du = 1144.29964033288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35777617)-sin(0.35759655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936677906839994-0.936740793232409)×R²
    abs(0.47630103-0.47610929)×6.28863924146961e-05×R²
    0.000191739999999996×6.28863924146961e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.28863924146961e-05×40589641000000     		ar = 1309445.66341412m²