Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18866 / 8114
↖ ↑ ↗
← N 82.703544°
W128.182984°		 ← 38.79 m → N 82.703544°
W128.180237°		 →
↑
38.80 m
↓
↑
38.80 m
↓
N 82.703195°
W128.182984°		 ← 38.79 m →
1 505 m²		 N 82.703195°
W128.180237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143939971923828 y=0.0619087219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143939971923828 × 217)
    floor (0.143939971923828 × 131072)
    floor (18866.5)     		tx = 18866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0619087219238281 × 217)
    floor (0.0619087219238281 × 131072)
    floor (8114.5)     		ty = 8114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18866 / 8114 ti = "17/18866/8114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18866/8114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18866 ÷ 217
    18866 ÷ 131072     		x = 0.143936157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8114 ÷ 217
    8114 ÷ 131072     		y = 0.0619049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143936157226562 × 2 - 1) × π
    -0.712127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23721511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0619049072265625 × 2 - 1) × π
    0.876190185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.75263264998286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23721511} λ = -2.23721511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75263264998286))-π/2
    2×atan(15.6838677146877)-π/2
    2×1.50712273488222-π/2
    3.01424546976444-1.57079632675     		φ = 1.44344914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23721511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.182984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44344914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.703544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18866 KachelY 8114 -2.23721511 1.44344914 -128.182984 82.703544
    Oben rechts KachelX + 1 18867 KachelY 8114 -2.23716717 1.44344914 -128.180237 82.703544
    Unten links KachelX 18866 KachelY + 1 8115 -2.23721511 1.44344305 -128.182984 82.703195
    Unten rechts KachelX + 1 18867 KachelY + 1 8115 -2.23716717 1.44344305 -128.180237 82.703195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44344914-1.44344305) × R
    6.09000000006965e-06 × 6371000     		dl = 38.7993900004437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44344914-1.44344305) × R
    6.09000000006965e-06 × 6371000     		dr = 38.7993900004437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23721511--2.23716717) × cos(1.44344914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127003261075057 × 6371000     		do = 38.790064996237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23721511--2.23716717) × cos(1.44344305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.127009301757705 × 6371000     		du = 38.791909976205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44344914)-sin(1.44344305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127003261075057-0.127009301757705)×R²
    abs(-2.23716717--2.23721511)×6.04068264861701e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.04068264861701e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.04068264861701e-06×40589641000000     		ar = 1505.06665187115m²