Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18864 / 8112
↖ ↑ ↗
← N 82.704242°
W128.188477°		 ← 38.79 m → N 82.704242°
W128.185730°		 →
↑
38.80 m
↓
↑
38.80 m
↓
N 82.703893°
W128.188477°		 ← 38.79 m →
1 505 m²		 N 82.703893°
W128.185730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143924713134766 y=0.0618934631347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143924713134766 × 217)
    floor (0.143924713134766 × 131072)
    floor (18864.5)     		tx = 18864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0618934631347656 × 217)
    floor (0.0618934631347656 × 131072)
    floor (8112.5)     		ty = 8112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18864 / 8112 ti = "17/18864/8112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18864/8112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18864 ÷ 217
    18864 ÷ 131072     		x = 0.1439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8112 ÷ 217
    8112 ÷ 131072     		y = 0.0618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1439208984375 × 2 - 1) × π
    -0.712158203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.23731098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0618896484375 × 2 - 1) × π
    0.876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.7527285237821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23731098} λ = -2.23731098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7527285237821))-π/2
    2×atan(15.6853714587559)-π/2
    2×1.50712882273518-π/2
    3.01425764547037-1.57079632675     		φ = 1.44346132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23731098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.188477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44346132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.704242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18864 KachelY 8112 -2.23731098 1.44346132 -128.188477 82.704242
    Oben rechts KachelX + 1 18865 KachelY 8112 -2.23726304 1.44346132 -128.185730 82.704242
    Unten links KachelX 18864 KachelY + 1 8113 -2.23731098 1.44345523 -128.188477 82.703893
    Unten rechts KachelX + 1 18865 KachelY + 1 8113 -2.23726304 1.44345523 -128.185730 82.703893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44346132-1.44345523) × R
    6.08999999984761e-06 × 6371000     		dl = 38.7993899990291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44346132-1.44345523) × R
    6.08999999984761e-06 × 6371000     		dr = 38.7993899990291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23731098--2.23726304) × cos(1.44346132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126991179695629 × 6371000     		do = 38.7863750319851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23731098--2.23726304) × cos(1.44345523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.126997220387698 × 6371000     		du = 38.7882200148303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44346132)-sin(1.44345523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126991179695629-0.126997220387698)×R²
    abs(-2.23726304--2.23731098)×6.04069206874835e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.04069206874835e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.04069206874835e-06×40589641000000     		ar = 1504.92348352978m²