Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18861 / 15307
↖ ↑ ↗
← N 11.749059°
E 27.213135°		 ← 1 196.04 m → N 11.749059°
E 27.224121°		 →
↑
1 196.03 m
↓
↑
1 196.03 m
↓
N 11.738303°
E 27.213135°		 ← 1 196.09 m →
1 430 530 m²		 N 11.738303°
E 27.224121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575607299804688 y=0.467147827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575607299804688 × 215)
    floor (0.575607299804688 × 32768)
    floor (18861.5)     		tx = 18861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467147827148438 × 215)
    floor (0.467147827148438 × 32768)
    floor (15307.5)     		ty = 15307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18861 / 15307 ti = "15/18861/15307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18861/15307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18861 ÷ 215
    18861 ÷ 32768     		x = 0.575592041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15307 ÷ 215
    15307 ÷ 32768     		y = 0.467132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575592041015625 × 2 - 1) × π
    0.15118408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47495880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467132568359375 × 2 - 1) × π
    0.06573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.206512163563202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47495880} λ = 0.47495880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.206512163563202))-π/2
    2×atan(1.22938268780014)-π/2
    2×0.887928042844425-π/2
    1.77585608568885-1.57079632675     		φ = 0.20505976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47495880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.213135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20505976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.749059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18861 KachelY 15307 0.47495880 0.20505976 27.213135 11.749059
    Oben rechts KachelX + 1 18862 KachelY 15307 0.47515055 0.20505976 27.224121 11.749059
    Unten links KachelX 18861 KachelY + 1 15308 0.47495880 0.20487203 27.213135 11.738303
    Unten rechts KachelX + 1 18862 KachelY + 1 15308 0.47515055 0.20487203 27.224121 11.738303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20505976-0.20487203) × R
    0.000187729999999997 × 6371000     		dl = 1196.02782999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20505976-0.20487203) × R
    0.000187729999999997 × 6371000     		dr = 1196.02782999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47495880-0.47515055) × cos(0.20505976) × R
    0.000191749999999991 × 0.979048817597797 × 6371000     		do = 1196.0444632435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47495880-0.47515055) × cos(0.20487203) × R
    0.000191749999999991 × 0.979087026992179 × 6371000     		du = 1196.0911413394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20505976)-sin(0.20487203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979048817597797-0.979087026992179)×R²
    abs(0.47515055-0.47495880)×3.82093943815942e-05×R²
    0.000191749999999991×3.82093943815942e-05×6371000²
    0.000191749999999991×3.82093943815942e-05×40589641000000     		ar = 1430530.38230886m²