Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1886 / 2582
↖ ↑ ↗
← S 42.423457°
W 14.238281°		 ← 7 214.22 m → S 42.423457°
W 14.150391°		 →
↑
7 210.44 m
↓
↑
7 210.44 m
↓
S 42.488302°
W 14.238281°		 ← 7 206.75 m →
51 990 778 m²		 S 42.488302°
W 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4605712890625 y=0.6304931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4605712890625 × 212)
    floor (0.4605712890625 × 4096)
    floor (1886.5)     		tx = 1886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6304931640625 × 212)
    floor (0.6304931640625 × 4096)
    floor (2582.5)     		ty = 2582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1886 / 2582 ti = "12/1886/2582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1886/2582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1886 ÷ 212
    1886 ÷ 4096     		x = 0.46044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2582 ÷ 212
    2582 ÷ 4096     		y = 0.63037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63037109375 × 2 - 1) × π
    -0.2607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.81914574070752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24850489} λ = -0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81914574070752))-π/2
    2×atan(0.440808058089803)-π/2
    2×0.415183665248754-π/2
    0.830367330497507-1.57079632675     		φ = -0.74042900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74042900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.423457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1886 KachelY 2582 -0.24850489 -0.74042900 -14.238281 -42.423457
    Oben rechts KachelX + 1 1887 KachelY 2582 -0.24697091 -0.74042900 -14.150391 -42.423457
    Unten links KachelX 1886 KachelY + 1 2583 -0.24850489 -0.74156076 -14.238281 -42.488302
    Unten rechts KachelX + 1 1887 KachelY + 1 2583 -0.24697091 -0.74156076 -14.150391 -42.488302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74042900--0.74156076) × R
    0.00113176000000004 × 6371000     		dl = 7210.44296000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74042900--0.74156076) × R
    0.00113176000000004 × 6371000     		dr = 7210.44296000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24850489--0.24697091) × cos(-0.74042900) × R
    0.00153398000000002 × 0.738179221270127 × 6371000     		do = 7214.21562310789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24850489--0.24697091) × cos(-0.74156076) × R
    0.00153398000000002 × 0.737415258111804 × 6371000     		du = 7206.74942141398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74042900)-sin(-0.74156076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738179221270127-0.737415258111804)×R²
    abs(-0.24697091--0.24850489)×0.0007639631583235×R²
    0.00153398000000002×0.0007639631583235×6371000²
    0.00153398000000002×0.0007639631583235×40589641000000     		ar = 51990778.4903408m²