Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1886 / 1254
↖ ↑ ↗
← N 57.040730°
W 14.238281°		 ← 5 316.92 m → N 57.040730°
W 14.150391°		 →
↑
5 320.29 m
↓
↑
5 320.29 m
↓
N 56.992883°
W 14.238281°		 ← 5 323.77 m →
28 305 805 m²		 N 56.992883°
W 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4605712890625 y=0.3062744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4605712890625 × 212)
    floor (0.4605712890625 × 4096)
    floor (1886.5)     		tx = 1886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3062744140625 × 212)
    floor (0.3062744140625 × 4096)
    floor (1254.5)     		ty = 1254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1886 / 1254 ti = "12/1886/1254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1886/1254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1886 ÷ 212
    1886 ÷ 4096     		x = 0.46044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1254 ÷ 212
    1254 ÷ 4096     		y = 0.30615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30615234375 × 2 - 1) × π
    0.3876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21798074554639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24850489} λ = -0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21798074554639))-π/2
    2×atan(3.38035504049963)-π/2
    2×1.28317243509796-π/2
    2.56634487019593-1.57079632675     		φ = 0.99554854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99554854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.040730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1886 KachelY 1254 -0.24850489 0.99554854 -14.238281 57.040730
    Oben rechts KachelX + 1 1887 KachelY 1254 -0.24697091 0.99554854 -14.150391 57.040730
    Unten links KachelX 1886 KachelY + 1 1255 -0.24850489 0.99471346 -14.238281 56.992883
    Unten rechts KachelX + 1 1887 KachelY + 1 1255 -0.24697091 0.99471346 -14.150391 56.992883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99554854-0.99471346) × R
    0.000835079999999988 × 6371000     		dl = 5320.29467999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99554854-0.99471346) × R
    0.000835079999999988 × 6371000     		dr = 5320.29467999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24850489--0.24697091) × cos(0.99554854) × R
    0.00153398000000002 × 0.544042714757169 × 6371000     		do = 5316.92215026864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24850489--0.24697091) × cos(0.99471346) × R
    0.00153398000000002 × 0.544743205134429 × 6371000     		du = 5323.76803332502m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99554854)-sin(0.99471346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544042714757169-0.544743205134429)×R²
    abs(-0.24697091--0.24850489)×0.000700490377259722×R²
    0.00153398000000002×0.000700490377259722×6371000²
    0.00153398000000002×0.000700490377259722×40589641000000     		ar = 28305805.3325945m²