Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1886 / 1250
↖ ↑ ↗
← N 57.231503°
W 14.238281°		 ← 5 289.59 m → N 57.231503°
W 14.150391°		 →
↑
5 292.96 m
↓
↑
5 292.96 m
↓
N 57.183902°
W 14.238281°		 ← 5 296.41 m →
28 015 667 m²		 N 57.183902°
W 14.150391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4605712890625 y=0.3052978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4605712890625 × 212)
    floor (0.4605712890625 × 4096)
    floor (1886.5)     		tx = 1886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3052978515625 × 212)
    floor (0.3052978515625 × 4096)
    floor (1250.5)     		ty = 1250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1886 / 1250 ti = "12/1886/1250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1886/1250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1886 ÷ 212
    1886 ÷ 4096     		x = 0.46044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1250 ÷ 212
    1250 ÷ 4096     		y = 0.30517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    -0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30517578125 × 2 - 1) × π
    0.3896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.22411666869775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.24850489} λ = -0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22411666869775))-π/2
    2×atan(3.40116040403235)-π/2
    2×1.28483724492113-π/2
    2.56967448984225-1.57079632675     		φ = 0.99887816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99887816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.231503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1886 KachelY 1250 -0.24850489 0.99887816 -14.238281 57.231503
    Oben rechts KachelX + 1 1887 KachelY 1250 -0.24697091 0.99887816 -14.150391 57.231503
    Unten links KachelX 1886 KachelY + 1 1251 -0.24850489 0.99804737 -14.238281 57.183902
    Unten rechts KachelX + 1 1887 KachelY + 1 1251 -0.24697091 0.99804737 -14.150391 57.183902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99887816-0.99804737) × R
    0.00083078999999997 × 6371000     		dl = 5292.96308999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99887816-0.99804737) × R
    0.00083078999999997 × 6371000     		dr = 5292.96308999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.24850489--0.24697091) × cos(0.99887816) × R
    0.00153398000000002 × 0.541245961487789 × 6371000     		do = 5289.58951809942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.24850489--0.24697091) × cos(0.99804737) × R
    0.00153398000000002 × 0.541944356290851 × 6371000     		du = 5296.41492113729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99887816)-sin(0.99804737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.541245961487789-0.541944356290851)×R²
    abs(-0.24697091--0.24850489)×0.000698394803061664×R²
    0.00153398000000002×0.000698394803061664×6371000²
    0.00153398000000002×0.000698394803061664×40589641000000     		ar = 28015666.9951238m²