Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18859 / 13965
↖ ↑ ↗
← N 25.671236°
E 27.191162°		 ← 1 101 m → N 25.671236°
E 27.202148°		 →
↑
1 101.10 m
↓
↑
1 101.10 m
↓
N 25.661333°
E 27.191162°		 ← 1 101.09 m →
1 212 361 m²		 N 25.661333°
E 27.202148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575546264648438 y=0.426193237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575546264648438 × 215)
    floor (0.575546264648438 × 32768)
    floor (18859.5)     		tx = 18859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426193237304688 × 215)
    floor (0.426193237304688 × 32768)
    floor (13965.5)     		ty = 13965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18859 / 13965 ti = "15/18859/13965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18859/13965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18859 ÷ 215
    18859 ÷ 32768     		x = 0.575531005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13965 ÷ 215
    13965 ÷ 32768     		y = 0.426177978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575531005859375 × 2 - 1) × π
    0.15106201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47457531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426177978515625 × 2 - 1) × π
    0.14764404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.463837440723663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47457531} λ = 0.47457531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.463837440723663))-π/2
    2×atan(1.59016445344563)-π/2
    2×1.00942195752378-π/2
    2.01884391504755-1.57079632675     		φ = 0.44804759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47457531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.191162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44804759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.671236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18859 KachelY 13965 0.47457531 0.44804759 27.191162 25.671236
    Oben rechts KachelX + 1 18860 KachelY 13965 0.47476705 0.44804759 27.202148 25.671236
    Unten links KachelX 18859 KachelY + 1 13966 0.47457531 0.44787476 27.191162 25.661333
    Unten rechts KachelX + 1 18860 KachelY + 1 13966 0.47476705 0.44787476 27.202148 25.661333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44804759-0.44787476) × R
    0.000172830000000013 × 6371000     		dl = 1101.09993000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44804759-0.44787476) × R
    0.000172830000000013 × 6371000     		dr = 1101.09993000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47457531-0.47476705) × cos(0.44804759) × R
    0.000191740000000051 × 0.901294616662826 × 6371000     		do = 1100.99945804928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47457531-0.47476705) × cos(0.44787476) × R
    0.000191740000000051 × 0.901369474309311 × 6371000     		du = 1101.09090231921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44804759)-sin(0.44787476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.901294616662826-0.901369474309311)×R²
    abs(0.47476705-0.47457531)×7.48576464851824e-05×R²
    0.000191740000000051×7.48576464851824e-05×6371000²
    0.000191740000000051×7.48576464851824e-05×40589641000000     		ar = 1212360.77384559m²