Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18857 / 13919
↖ ↑ ↗
← N 26.125850°
E 27.169189°		 ← 1 096.82 m → N 26.125850°
E 27.180176°		 →
↑
1 096.90 m
↓
↑
1 096.90 m
↓
N 26.115986°
E 27.169189°		 ← 1 096.92 m →
1 203 151 m²		 N 26.115986°
E 27.180176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18857 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575485229492188 y=0.424789428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575485229492188 × 215)
    floor (0.575485229492188 × 32768)
    floor (18857.5)     		tx = 18857
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424789428710938 × 215)
    floor (0.424789428710938 × 32768)
    floor (13919.5)     		ty = 13919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18857 / 13919 ti = "15/18857/13919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18857/13919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18857 ÷ 215
    18857 ÷ 32768     		x = 0.575469970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13919 ÷ 215
    13919 ÷ 32768     		y = 0.424774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575469970703125 × 2 - 1) × π
    0.15093994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47419181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424774169921875 × 2 - 1) × π
    0.15045166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.472657830253754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47419181} λ = 0.47419181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472657830253754))-π/2
    2×atan(1.60425236242874)-π/2
    2×1.01338921620283-π/2
    2.02677843240566-1.57079632675     		φ = 0.45598211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47419181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.169189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45598211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.125850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18857 KachelY 13919 0.47419181 0.45598211 27.169189 26.125850
    Oben rechts KachelX + 1 18858 KachelY 13919 0.47438356 0.45598211 27.180176 26.125850
    Unten links KachelX 18857 KachelY + 1 13920 0.47419181 0.45580994 27.169189 26.115986
    Unten rechts KachelX + 1 18858 KachelY + 1 13920 0.47438356 0.45580994 27.180176 26.115986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45598211-0.45580994) × R
    0.000172169999999972 × 6371000     		dl = 1096.89506999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45598211-0.45580994) × R
    0.000172169999999972 × 6371000     		dr = 1096.89506999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47419181-0.47438356) × cos(0.45598211) × R
    0.000191749999999991 × 0.897828994710597 × 6371000     		do = 1096.82313972645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47419181-0.47438356) × cos(0.45580994) × R
    0.000191749999999991 × 0.897904795480173 × 6371000     		du = 1096.91574092175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45598211)-sin(0.45580994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897828994710597-0.897904795480173)×R²
    abs(0.47438356-0.47419181)×7.58007695756957e-05×R²
    0.000191749999999991×7.58007695756957e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.58007695756957e-05×40589641000000     		ar = 1203150.68449704m²