Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18856 / 13704
↖ ↑ ↗
← N 28.226970°
E 27.158203°		 ← 1 076.36 m → N 28.226970°
E 27.169189°		 →
↑
1 076.44 m
↓
↑
1 076.44 m
↓
N 28.217290°
E 27.158203°		 ← 1 076.46 m →
1 158 697 m²		 N 28.217290°
E 27.169189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575454711914062 y=0.418228149414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575454711914062 × 215)
    floor (0.575454711914062 × 32768)
    floor (18856.5)     		tx = 18856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418228149414062 × 215)
    floor (0.418228149414062 × 32768)
    floor (13704.5)     		ty = 13704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18856 / 13704 ti = "15/18856/13704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18856/13704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18856 ÷ 215
    18856 ÷ 32768     		x = 0.575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13704 ÷ 215
    13704 ÷ 32768     		y = 0.418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575439453125 × 2 - 1) × π
    0.15087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47400006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418212890625 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.513883563927002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47400006} λ = 0.47400006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513883563927002))-π/2
    2×atan(1.67177103404912)-π/2
    2×1.03172494591144-π/2
    2.06344989182287-1.57079632675     		φ = 0.49265357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47400006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.158203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49265357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.226970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18856 KachelY 13704 0.47400006 0.49265357 27.158203 28.226970
    Oben rechts KachelX + 1 18857 KachelY 13704 0.47419181 0.49265357 27.169189 28.226970
    Unten links KachelX 18856 KachelY + 1 13705 0.47400006 0.49248461 27.158203 28.217290
    Unten rechts KachelX + 1 18857 KachelY + 1 13705 0.47419181 0.49248461 27.169189 28.217290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49265357-0.49248461) × R
    0.000168959999999996 × 6371000     		dl = 1076.44415999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49265357-0.49248461) × R
    0.000168959999999996 × 6371000     		dr = 1076.44415999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47400006-0.47419181) × cos(0.49265357) × R
    0.000191749999999991 × 0.88108091489529 × 6371000     		do = 1076.36302806194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47400006-0.47419181) × cos(0.49248461) × R
    0.000191749999999991 × 0.881160814579689 × 6371000     		du = 1076.46063665247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49265357)-sin(0.49248461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88108091489529-0.881160814579689)×R²
    abs(0.47419181-0.47400006)×7.98996843991429e-05×R²
    0.000191749999999991×7.98996843991429e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.98996843991429e-05×40589641000000     		ar = 1158697.23345228m²