Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18850 / 13935
↖ ↑ ↗
← N 25.967922°
E 27.092285°		 ← 1 098.30 m → N 25.967922°
E 27.103272°		 →
↑
1 098.30 m
↓
↑
1 098.30 m
↓
N 25.958045°
E 27.092285°		 ← 1 098.39 m →
1 206 312 m²		 N 25.958045°
E 27.103272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575271606445312 y=0.425277709960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575271606445312 × 215)
    floor (0.575271606445312 × 32768)
    floor (18850.5)     		tx = 18850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425277709960938 × 215)
    floor (0.425277709960938 × 32768)
    floor (13935.5)     		ty = 13935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18850 / 13935 ti = "15/18850/13935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18850/13935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18850 ÷ 215
    18850 ÷ 32768     		x = 0.57525634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13935 ÷ 215
    13935 ÷ 32768     		y = 0.425262451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57525634765625 × 2 - 1) × π
    0.1505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47284958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425262451171875 × 2 - 1) × π
    0.14947509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.46958986867807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47284958} λ = 0.47284958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46958986867807))-π/2
    2×atan(1.59933812003109)-π/2
    2×1.01201103479065-π/2
    2.0240220695813-1.57079632675     		φ = 0.45322574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47284958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.092285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45322574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.967922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18850 KachelY 13935 0.47284958 0.45322574 27.092285 25.967922
    Oben rechts KachelX + 1 18851 KachelY 13935 0.47304133 0.45322574 27.103272 25.967922
    Unten links KachelX 18850 KachelY + 1 13936 0.47284958 0.45305335 27.092285 25.958045
    Unten rechts KachelX + 1 18851 KachelY + 1 13936 0.47304133 0.45305335 27.103272 25.958045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45322574-0.45305335) × R
    0.000172389999999967 × 6371000     		dl = 1098.29668999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45322574-0.45305335) × R
    0.000172389999999967 × 6371000     		dr = 1098.29668999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47284958-0.47304133) × cos(0.45322574) × R
    0.000191749999999991 × 0.899039334312526 × 6371000     		do = 1098.30173809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47284958-0.47304133) × cos(0.45305335) × R
    0.000191749999999991 × 0.89911480499604 × 6371000     		du = 1098.3939360392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45322574)-sin(0.45305335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899039334312526-0.89911480499604)×R²
    abs(0.47304133-0.47284958)×7.54706835138785e-05×R²
    0.000191749999999991×7.54706835138785e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.54706835138785e-05×40589641000000     		ar = 1206311.79690416m²