Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1885 / 1252
↖ ↑ ↗
← N 57.136239°
W 14.326172°		 ← 5 303.25 m → N 57.136239°
W 14.238281°		 →
↑
5 306.66 m
↓
↑
5 306.66 m
↓
N 57.088515°
W 14.326172°		 ← 5 310.08 m →
28 160 664 m²		 N 57.088515°
W 14.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4603271484375 y=0.3057861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4603271484375 × 212)
    floor (0.4603271484375 × 4096)
    floor (1885.5)     		tx = 1885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3057861328125 × 212)
    floor (0.3057861328125 × 4096)
    floor (1252.5)     		ty = 1252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1885 / 1252 ti = "12/1885/1252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1885/1252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1885 ÷ 212
    1885 ÷ 4096     		x = 0.460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1252 ÷ 212
    1252 ÷ 4096     		y = 0.3056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.07958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25003887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3056640625 × 2 - 1) × π
    0.388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22104870712207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25003887} λ = -0.25003887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22104870712207))-π/2
    2×atan(3.39074176476454)-π/2
    2×1.28400591255152-π/2
    2.56801182510305-1.57079632675     		φ = 0.99721550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25003887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99721550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.136239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1885 KachelY 1252 -0.25003887 0.99721550 -14.326172 57.136239
    Oben rechts KachelX + 1 1886 KachelY 1252 -0.24850489 0.99721550 -14.238281 57.136239
    Unten links KachelX 1885 KachelY + 1 1253 -0.25003887 0.99638256 -14.326172 57.088515
    Unten rechts KachelX + 1 1886 KachelY + 1 1253 -0.24850489 0.99638256 -14.238281 57.088515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99721550-0.99638256) × R
    0.000832940000000004 × 6371000     		dl = 5306.66074000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99721550-0.99638256) × R
    0.000832940000000004 × 6371000     		dr = 5306.66074000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25003887--0.24850489) × cos(0.99721550) × R
    0.00153398000000002 × 0.542643284198053 × 6371000     		do = 5303.24553419476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25003887--0.24850489) × cos(0.99638256) × R
    0.00153398000000002 × 0.543342734868998 × 6371000     		du = 5310.08125621527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99721550)-sin(0.99638256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542643284198053-0.543342734868998)×R²
    abs(-0.24850489--0.25003887)×0.000699450670945123×R²
    0.00153398000000002×0.000699450670945123×6371000²
    0.00153398000000002×0.000699450670945123×40589641000000     		ar = 28160663.9278647m²