Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18848 / 15008
↖ ↑ ↗
← N 14.944785°
E 27.070312°		 ← 1 180.32 m → N 14.944785°
E 27.081299°		 →
↑
1 180.29 m
↓
↑
1 180.29 m
↓
N 14.934170°
E 27.070312°		 ← 1 180.38 m →
1 393 153 m²		 N 14.934170°
E 27.081299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575210571289062 y=0.458023071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575210571289062 × 215)
    floor (0.575210571289062 × 32768)
    floor (18848.5)     		tx = 18848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.458023071289062 × 215)
    floor (0.458023071289062 × 32768)
    floor (15008.5)     		ty = 15008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18848 / 15008 ti = "15/18848/15008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18848/15008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18848 ÷ 215
    18848 ÷ 32768     		x = 0.5751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15008 ÷ 215
    15008 ÷ 32768     		y = 0.4580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5751953125 × 2 - 1) × π
    0.150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47246608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    0.083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.263844695508789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47246608} λ = 0.47246608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.263844695508789))-π/2
    2×atan(1.30192598564639)-π/2
    2×0.915816014430076-π/2
    1.83163202886015-1.57079632675     		φ = 0.26083570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47246608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.070312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26083570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.944785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18848 KachelY 15008 0.47246608 0.26083570 27.070312 14.944785
    Oben rechts KachelX + 1 18849 KachelY 15008 0.47265783 0.26083570 27.081299 14.944785
    Unten links KachelX 18848 KachelY + 1 15009 0.47246608 0.26065044 27.070312 14.934170
    Unten rechts KachelX + 1 18849 KachelY + 1 15009 0.47265783 0.26065044 27.081299 14.934170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26083570-0.26065044) × R
    0.00018526000000002 × 6371000     		dl = 1180.29146000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26083570-0.26065044) × R
    0.00018526000000002 × 6371000     		dr = 1180.29146000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47246608-0.47265783) × cos(0.26083570) × R
    0.000191749999999991 × 0.966174798481606 × 6371000     		do = 1180.31705618591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47246608-0.47265783) × cos(0.26065044) × R
    0.000191749999999991 × 0.966222558245774 × 6371000     		du = 1180.37540138839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26083570)-sin(0.26065044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.966174798481606-0.966222558245774)×R²
    abs(0.47265783-0.47246608)×4.77597641683758e-05×R²
    0.000191749999999991×4.77597641683758e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.77597641683758e-05×40589641000000     		ar = 1393152.57766538m²