Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18845 / 13724
↖ ↑ ↗
← N 28.033198°
E 27.037354°		 ← 1 078.31 m → N 28.033198°
E 27.048340°		 →
↑
1 078.36 m
↓
↑
1 078.36 m
↓
N 28.023500°
E 27.037354°		 ← 1 078.41 m →
1 162 855 m²		 N 28.023500°
E 27.048340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575119018554688 y=0.418838500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575119018554688 × 215)
    floor (0.575119018554688 × 32768)
    floor (18845.5)     		tx = 18845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418838500976562 × 215)
    floor (0.418838500976562 × 32768)
    floor (13724.5)     		ty = 13724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18845 / 13724 ti = "15/18845/13724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18845/13724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18845 ÷ 215
    18845 ÷ 32768     		x = 0.575103759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13724 ÷ 215
    13724 ÷ 32768     		y = 0.4188232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575103759765625 × 2 - 1) × π
    0.15020751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47189084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4188232421875 × 2 - 1) × π
    0.162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.510048611957397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47189084} λ = 0.47189084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510048611957397))-π/2
    2×atan(1.66537214997818)-π/2
    2×1.03003396454348-π/2
    2.06006792908697-1.57079632675     		φ = 0.48927160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47189084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.037354°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48927160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.033198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18845 KachelY 13724 0.47189084 0.48927160 27.037354 28.033198
    Oben rechts KachelX + 1 18846 KachelY 13724 0.47208259 0.48927160 27.048340 28.033198
    Unten links KachelX 18845 KachelY + 1 13725 0.47189084 0.48910234 27.037354 28.023500
    Unten rechts KachelX + 1 18846 KachelY + 1 13725 0.47208259 0.48910234 27.048340 28.023500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48927160-0.48910234) × R
    0.000169259999999949 × 6371000     		dl = 1078.35545999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48927160-0.48910234) × R
    0.000169259999999949 × 6371000     		dr = 1078.35545999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47189084-0.47208259) × cos(0.48927160) × R
    0.000191750000000046 × 0.882675428408608 × 6371000     		do = 1078.31094835478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47189084-0.47208259) × cos(0.48910234) × R
    0.000191750000000046 × 0.882754965099155 × 6371000     		du = 1078.40811349777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48927160)-sin(0.48910234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882675428408608-0.882754965099155)×R²
    abs(0.47208259-0.47189084)×7.95366905469441e-05×R²
    0.000191750000000046×7.95366905469441e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.95366905469441e-05×40589641000000     		ar = 1162854.89079296m²