Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18843 / 13726
↖ ↑ ↗
← N 28.013801°
E 27.015381°		 ← 1 078.51 m → N 28.013801°
E 27.026367°		 →
↑
1 078.55 m
↓
↑
1 078.55 m
↓
N 28.004102°
E 27.015381°		 ← 1 078.60 m →
1 163 271 m²		 N 28.004102°
E 27.026367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.575057983398438 y=0.418899536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.575057983398438 × 215)
    floor (0.575057983398438 × 32768)
    floor (18843.5)     		tx = 18843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418899536132812 × 215)
    floor (0.418899536132812 × 32768)
    floor (13726.5)     		ty = 13726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18843 / 13726 ti = "15/18843/13726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18843/13726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18843 ÷ 215
    18843 ÷ 32768     		x = 0.575042724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13726 ÷ 215
    13726 ÷ 32768     		y = 0.41888427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.575042724609375 × 2 - 1) × π
    0.15008544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.47150734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41888427734375 × 2 - 1) × π
    0.1622314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.509665116760437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47150734} λ = 0.47150734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.509665116760437))-π/2
    2×atan(1.66473361020381)-π/2
    2×1.0298646983998-π/2
    2.0597293967996-1.57079632675     		φ = 0.48893307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47150734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.015381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48893307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.013801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18843 KachelY 13726 0.47150734 0.48893307 27.015381 28.013801
    Oben rechts KachelX + 1 18844 KachelY 13726 0.47169909 0.48893307 27.026367 28.013801
    Unten links KachelX 18843 KachelY + 1 13727 0.47150734 0.48876378 27.015381 28.004102
    Unten rechts KachelX + 1 18844 KachelY + 1 13727 0.47169909 0.48876378 27.026367 28.004102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48893307-0.48876378) × R
    0.000169290000000044 × 6371000     		dl = 1078.54659000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48893307-0.48876378) × R
    0.000169290000000044 × 6371000     		dr = 1078.54659000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47150734-0.47169909) × cos(0.48893307) × R
    0.000191749999999991 × 0.882834481196543 × 6371000     		do = 1078.50525348303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47150734-0.47169909) × cos(0.48876378) × R
    0.000191749999999991 × 0.88291398138936 × 6371000     		du = 1078.60237403896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48893307)-sin(0.48876378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882834481196543-0.88291398138936)×R²
    abs(0.47169909-0.47150734)×7.95001928168837e-05×R²
    0.000191749999999991×7.95001928168837e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.95001928168837e-05×40589641000000     		ar = 1163270.54074187m²