Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18841 / 51614
↖ ↑ ↗
← S 71.353554°
W 76.503296°		 ← 195.29 m → S 71.353554°
W 76.497803°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
S 71.355311°
W 76.503296°		 ← 195.27 m →
38 144 m²		 S 71.355311°
W 76.497803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287498474121094 y=0.787574768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287498474121094 × 216)
    floor (0.287498474121094 × 65536)
    floor (18841.5)     		tx = 18841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787574768066406 × 216)
    floor (0.787574768066406 × 65536)
    floor (51614.5)     		ty = 51614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18841 / 51614 ti = "16/18841/51614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18841/51614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18841 ÷ 216
    18841 ÷ 65536     		x = 0.287490844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51614 ÷ 216
    51614 ÷ 65536     		y = 0.787567138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287490844726562 × 2 - 1) × π
    -0.425018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.33523440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787567138671875 × 2 - 1) × π
    -0.57513427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80683762047916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33523440} λ = -1.33523440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80683762047916))-π/2
    2×atan(0.164172492480129)-π/2
    2×0.162720936183098-π/2
    0.325441872366195-1.57079632675     		φ = -1.24535445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33523440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.503296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24535445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.353554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18841 KachelY 51614 -1.33523440 -1.24535445 -76.503296 -71.353554
    Oben rechts KachelX + 1 18842 KachelY 51614 -1.33513853 -1.24535445 -76.497803 -71.353554
    Unten links KachelX 18841 KachelY + 1 51615 -1.33523440 -1.24538511 -76.503296 -71.355311
    Unten rechts KachelX + 1 18842 KachelY + 1 51615 -1.33513853 -1.24538511 -76.497803 -71.355311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24535445--1.24538511) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dl = 195.334859999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24535445--1.24538511) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dr = 195.334859999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33523440--1.33513853) × cos(-1.24535445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319727499535709 × 6371000     		do = 195.285646449088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33523440--1.33513853) × cos(-1.24538511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319698448742978 × 6371000     		du = 195.267902580179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24535445)-sin(-1.24538511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319727499535709-0.319698448742978)×R²
    abs(-1.33513853--1.33523440)×2.9050792731411e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9050792731411e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9050792731411e-05×40589641000000     		ar = 38144.3614140264m²