Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18838 / 51611
↖ ↑ ↗
← S 71.348284°
W 76.519775°		 ← 195.34 m → S 71.348284°
W 76.514282°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
S 71.350041°
W 76.519775°		 ← 195.32 m →
38 155 m²		 S 71.350041°
W 76.514282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287452697753906 y=0.787528991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287452697753906 × 216)
    floor (0.287452697753906 × 65536)
    floor (18838.5)     		tx = 18838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787528991699219 × 216)
    floor (0.787528991699219 × 65536)
    floor (51611.5)     		ty = 51611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18838 / 51611 ti = "16/18838/51611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18838/51611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18838 ÷ 216
    18838 ÷ 65536     		x = 0.287445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51611 ÷ 216
    51611 ÷ 65536     		y = 0.787521362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.42510986328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.33552202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787521362304688 × 2 - 1) × π
    -0.575042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.80654999908144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33552202} λ = -1.33552202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80654999908144))-π/2
    2×atan(0.164219718793207)-π/2
    2×0.162766922683511-π/2
    0.325533845367022-1.57079632675     		φ = -1.24526248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33552202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.519775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24526248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.348284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18838 KachelY 51611 -1.33552202 -1.24526248 -76.519775 -71.348284
    Oben rechts KachelX + 1 18839 KachelY 51611 -1.33542615 -1.24526248 -76.514282 -71.348284
    Unten links KachelX 18838 KachelY + 1 51612 -1.33552202 -1.24529314 -76.519775 -71.350041
    Unten rechts KachelX + 1 18839 KachelY + 1 51612 -1.33542615 -1.24529314 -76.514282 -71.350041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24526248--1.24529314) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dl = 195.334859999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24526248--1.24529314) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dr = 195.334859999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33552202--1.33542615) × cos(-1.24526248) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319814640635662 × 6371000     		do = 195.338871167203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33552202--1.33542615) × cos(-1.24529314) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.31978559074458 × 6371000     		du = 195.32112784901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24526248)-sin(-1.24529314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319814640635662-0.31978559074458)×R²
    abs(-1.33542615--1.33552202)×2.90498910818227e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90498910818227e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90498910818227e-05×40589641000000     		ar = 38154.7581105878m²