Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18838 / 13684
↖ ↑ ↗
← N 28.420391°
E 26.960449°		 ← 1 074.35 m → N 28.420391°
E 26.971435°		 →
↑
1 074.47 m
↓
↑
1 074.47 m
↓
N 28.410728°
E 26.960449°		 ← 1 074.45 m →
1 154 409 m²		 N 28.410728°
E 26.971435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574905395507812 y=0.417617797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574905395507812 × 215)
    floor (0.574905395507812 × 32768)
    floor (18838.5)     		tx = 18838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417617797851562 × 215)
    floor (0.417617797851562 × 32768)
    floor (13684.5)     		ty = 13684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18838 / 13684 ti = "15/18838/13684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18838/13684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18838 ÷ 215
    18838 ÷ 32768     		x = 0.57489013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13684 ÷ 215
    13684 ÷ 32768     		y = 0.4176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57489013671875 × 2 - 1) × π
    0.1497802734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47054861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4176025390625 × 2 - 1) × π
    0.164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.517718515896606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47054861} λ = 0.47054861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517718515896606))-π/2
    2×atan(1.67819450464706)-π/2
    2×1.03341286296567-π/2
    2.06682572593134-1.57079632675     		φ = 0.49602940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47054861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.960449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49602940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.420391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18838 KachelY 13684 0.47054861 0.49602940 26.960449 28.420391
    Oben rechts KachelX + 1 18839 KachelY 13684 0.47074035 0.49602940 26.971435 28.420391
    Unten links KachelX 18838 KachelY + 1 13685 0.47054861 0.49586075 26.960449 28.410728
    Unten rechts KachelX + 1 18839 KachelY + 1 13685 0.47074035 0.49586075 26.971435 28.410728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49602940-0.49586075) × R
    0.000168649999999992 × 6371000     		dl = 1074.46914999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49602940-0.49586075) × R
    0.000168649999999992 × 6371000     		dr = 1074.46914999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47054861-0.47074035) × cos(0.49602940) × R
    0.000191739999999996 × 0.879479246105049 × 6371000     		do = 1074.35033497955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47054861-0.47074035) × cos(0.49586075) × R
    0.000191739999999996 × 0.879559500412626 × 6371000     		du = 1074.44837167866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49602940)-sin(0.49586075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879479246105049-0.879559500412626)×R²
    abs(0.47074035-0.47054861)×8.02543075768547e-05×R²
    0.000191739999999996×8.02543075768547e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.02543075768547e-05×40589641000000     		ar = 1154408.9626685m²