Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18837 / 51609
↖ ↑ ↗
← S 71.344771°
W 76.525269°		 ← 195.39 m → S 71.344771°
W 76.519775°		 →
↑
195.40 m
↓
↑
195.40 m
↓
S 71.346528°
W 76.525269°		 ← 195.38 m →
38 178 m²		 S 71.346528°
W 76.519775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287437438964844 y=0.787498474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287437438964844 × 216)
    floor (0.287437438964844 × 65536)
    floor (18837.5)     		tx = 18837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787498474121094 × 216)
    floor (0.787498474121094 × 65536)
    floor (51609.5)     		ty = 51609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18837 / 51609 ti = "16/18837/51609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18837/51609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18837 ÷ 216
    18837 ÷ 65536     		x = 0.287429809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51609 ÷ 216
    51609 ÷ 65536     		y = 0.787490844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287429809570312 × 2 - 1) × π
    -0.425140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.33561790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787490844726562 × 2 - 1) × π
    -0.574981689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80635825148296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33561790} λ = -1.33561790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80635825148296))-π/2
    2×atan(0.164251210549046)-π/2
    2×0.162797587313457-π/2
    0.325595174626915-1.57079632675     		φ = -1.24520115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33561790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.525269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24520115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.344771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18837 KachelY 51609 -1.33561790 -1.24520115 -76.525269 -71.344771
    Oben rechts KachelX + 1 18838 KachelY 51609 -1.33552202 -1.24520115 -76.519775 -71.344771
    Unten links KachelX 18837 KachelY + 1 51610 -1.33561790 -1.24523182 -76.525269 -71.346528
    Unten rechts KachelX + 1 18838 KachelY + 1 51610 -1.33552202 -1.24523182 -76.519775 -71.346528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24520115--1.24523182) × R
    3.06700000001214e-05 × 6371000     		dl = 195.398570000774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24520115--1.24523182) × R
    3.06700000001214e-05 × 6371000     		dr = 195.398570000774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33561790--1.33552202) × cos(-1.24520115) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.319872748990492 × 6371000     		do = 195.394742132382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33561790--1.33552202) × cos(-1.24523182) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.319843690226106 × 6371000     		du = 195.37699154315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24520115)-sin(-1.24523182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319872748990492-0.319843690226106)×R²
    abs(-1.33552202--1.33561790)×2.90587643855256e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.90587643855256e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.90587643855256e-05×40589641000000     		ar = 38178.118981362m²