Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18836 / 51613
↖ ↑ ↗
← S 71.351798°
W 76.530762°		 ← 195.30 m → S 71.351798°
W 76.525269°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
S 71.353554°
W 76.530762°		 ← 195.29 m →
38 135 m²		 S 71.353554°
W 76.525269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287422180175781 y=0.787559509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287422180175781 × 216)
    floor (0.287422180175781 × 65536)
    floor (18836.5)     		tx = 18836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787559509277344 × 216)
    floor (0.787559509277344 × 65536)
    floor (51613.5)     		ty = 51613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18836 / 51613 ti = "16/18836/51613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18836/51613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18836 ÷ 216
    18836 ÷ 65536     		x = 0.28741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51613 ÷ 216
    51613 ÷ 65536     		y = 0.787551879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.4251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.33571377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787551879882812 × 2 - 1) × π
    -0.575103759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80674174667992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33571377} λ = -1.33571377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80674174667992))-π/2
    2×atan(0.164188233075257)-π/2
    2×0.162736263624117-π/2
    0.325472527248234-1.57079632675     		φ = -1.24532380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33571377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.530762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24532380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.351798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18836 KachelY 51613 -1.33571377 -1.24532380 -76.530762 -71.351798
    Oben rechts KachelX + 1 18837 KachelY 51613 -1.33561790 -1.24532380 -76.525269 -71.351798
    Unten links KachelX 18836 KachelY + 1 51614 -1.33571377 -1.24535445 -76.530762 -71.353554
    Unten rechts KachelX + 1 18837 KachelY + 1 51614 -1.33561790 -1.24535445 -76.525269 -71.353554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24532380--1.24535445) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24532380--1.24535445) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33571377--1.33561790) × cos(-1.24532380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319756540552888 × 6371000     		do = 195.303384347209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33571377--1.33561790) × cos(-1.24535445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319727499535709 × 6371000     		du = 195.285646449088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24532380)-sin(-1.24535445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319756540552888-0.319727499535709)×R²
    abs(-1.33561790--1.33571377)×2.90410171788213e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90410171788213e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90410171788213e-05×40589641000000     		ar = 38135.384613688m²