Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18836 / 14484
↖ ↑ ↗
← N 20.427013°
E 26.938476°		 ← 1 144.82 m → N 20.427013°
E 26.949463°		 →
↑
1 144.87 m
↓
↑
1 144.87 m
↓
N 20.416717°
E 26.938476°		 ← 1 144.90 m →
1 310 712 m²		 N 20.416717°
E 26.949463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574844360351562 y=0.442031860351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574844360351562 × 215)
    floor (0.574844360351562 × 32768)
    floor (18836.5)     		tx = 18836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442031860351562 × 215)
    floor (0.442031860351562 × 32768)
    floor (14484.5)     		ty = 14484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18836 / 14484 ti = "15/18836/14484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18836/14484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18836 ÷ 215
    18836 ÷ 32768     		x = 0.5748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14484 ÷ 215
    14484 ÷ 32768     		y = 0.4420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5748291015625 × 2 - 1) × π
    0.149658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47016511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4420166015625 × 2 - 1) × π
    0.115966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.364320437112427
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47016511} λ = 0.47016511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364320437112427))-π/2
    2×atan(1.43953542083372)-π/2
    2×0.963657478370501-π/2
    1.927314956741-1.57079632675     		φ = 0.35651863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47016511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.938476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35651863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.427013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18836 KachelY 14484 0.47016511 0.35651863 26.938476 20.427013
    Oben rechts KachelX + 1 18837 KachelY 14484 0.47035686 0.35651863 26.949463 20.427013
    Unten links KachelX 18836 KachelY + 1 14485 0.47016511 0.35633893 26.938476 20.416717
    Unten rechts KachelX + 1 18837 KachelY + 1 14485 0.47035686 0.35633893 26.949463 20.416717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35651863-0.35633893) × R
    0.000179700000000005 × 6371000     		dl = 1144.86870000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35651863-0.35633893) × R
    0.000179700000000005 × 6371000     		dr = 1144.86870000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47016511-0.47035686) × cos(0.35651863) × R
    0.000191749999999991 × 0.937117546648546 × 6371000     		do = 1144.81957684951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47016511-0.47035686) × cos(0.35633893) × R
    0.000191749999999991 × 0.937180249315649 × 6371000     		du = 1144.89617688873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35651863)-sin(0.35633893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.937117546648546-0.937180249315649)×R²
    abs(0.47035686-0.47016511)×6.27026671031761e-05×R²
    0.000191749999999991×6.27026671031761e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.27026671031761e-05×40589641000000     		ar = 1310711.95270333m²