Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18835 / 14223
↖ ↑ ↗
← N 23.089838°
E 26.927490°		 ← 1 123.78 m → N 23.089838°
E 26.938476°		 →
↑
1 123.78 m
↓
↑
1 123.78 m
↓
N 23.079732°
E 26.927490°		 ← 1 123.86 m →
1 262 924 m²		 N 23.079732°
E 26.938476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574813842773438 y=0.434066772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574813842773438 × 215)
    floor (0.574813842773438 × 32768)
    floor (18835.5)     		tx = 18835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434066772460938 × 215)
    floor (0.434066772460938 × 32768)
    floor (14223.5)     		ty = 14223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18835 / 14223 ti = "15/18835/14223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18835/14223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18835 ÷ 215
    18835 ÷ 32768     		x = 0.574798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14223 ÷ 215
    14223 ÷ 32768     		y = 0.434051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574798583984375 × 2 - 1) × π
    0.14959716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.46997336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434051513671875 × 2 - 1) × π
    0.13189697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.414366560315765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46997336} λ = 0.46997336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.414366560315765))-π/2
    2×atan(1.51341178192159)-π/2
    2×0.986895015024891-π/2
    1.97379003004978-1.57079632675     		φ = 0.40299370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46997336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.927490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40299370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.089838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18835 KachelY 14223 0.46997336 0.40299370 26.927490 23.089838
    Oben rechts KachelX + 1 18836 KachelY 14223 0.47016511 0.40299370 26.938476 23.089838
    Unten links KachelX 18835 KachelY + 1 14224 0.46997336 0.40281731 26.927490 23.079732
    Unten rechts KachelX + 1 18836 KachelY + 1 14224 0.47016511 0.40281731 26.938476 23.079732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40299370-0.40281731) × R
    0.000176390000000026 × 6371000     		dl = 1123.78069000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40299370-0.40281731) × R
    0.000176390000000026 × 6371000     		dr = 1123.78069000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46997336-0.47016511) × cos(0.40299370) × R
    0.000191749999999991 × 0.919891066671264 × 6371000     		do = 1123.77503276993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46997336-0.47016511) × cos(0.40281731) × R
    0.000191749999999991 × 0.9199602279276 × 6371000     		du = 1123.85952287525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40299370)-sin(0.40281731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919891066671264-0.9199602279276)×R²
    abs(0.47016511-0.46997336)×6.91612563356037e-05×R²
    0.000191749999999991×6.91612563356037e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.91612563356037e-05×40589641000000     		ar = 1262924.15918002m²