Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18834 / 14001
↖ ↑ ↗
← N 25.314236°
E 26.916504°		 ← 1 104.28 m → N 25.314236°
E 26.927490°		 →
↑
1 104.35 m
↓
↑
1 104.35 m
↓
N 25.304304°
E 26.916504°		 ← 1 104.37 m →
1 219 556 m²		 N 25.304304°
E 26.927490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574783325195312 y=0.427291870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574783325195312 × 215)
    floor (0.574783325195312 × 32768)
    floor (18834.5)     		tx = 18834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427291870117188 × 215)
    floor (0.427291870117188 × 32768)
    floor (14001.5)     		ty = 14001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18834 / 14001 ti = "15/18834/14001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18834/14001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18834 ÷ 215
    18834 ÷ 32768     		x = 0.57476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14001 ÷ 215
    14001 ÷ 32768     		y = 0.427276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57476806640625 × 2 - 1) × π
    0.1495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46978162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427276611328125 × 2 - 1) × π
    0.14544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.456934527178375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46978162} λ = 0.46978162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.456934527178375))-π/2
    2×atan(1.57922548451609)-π/2
    2×1.00630654239717-π/2
    2.01261308479434-1.57079632675     		φ = 0.44181676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46978162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.916504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44181676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.314236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18834 KachelY 14001 0.46978162 0.44181676 26.916504 25.314236
    Oben rechts KachelX + 1 18835 KachelY 14001 0.46997336 0.44181676 26.927490 25.314236
    Unten links KachelX 18834 KachelY + 1 14002 0.46978162 0.44164342 26.916504 25.304304
    Unten rechts KachelX + 1 18835 KachelY + 1 14002 0.46997336 0.44164342 26.927490 25.304304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44181676-0.44164342) × R
    0.000173339999999966 × 6371000     		dl = 1104.34913999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44181676-0.44164342) × R
    0.000173339999999966 × 6371000     		dr = 1104.34913999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46978162-0.46997336) × cos(0.44181676) × R
    0.000191739999999996 × 0.903976340744193 × 6371000     		do = 1104.27538659179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46978162-0.46997336) × cos(0.44164342) × R
    0.000191739999999996 × 0.904050444309756 × 6371000     		du = 1104.36590969491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44181676)-sin(0.44164342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903976340744193-0.904050444309756)×R²
    abs(0.46997336-0.46978162)×7.4103565563477e-05×R²
    0.000191739999999996×7.4103565563477e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.4103565563477e-05×40589641000000     		ar = 1219555.56111463m²