Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18834 / 13676
↖ ↑ ↗
← N 28.497661°
E 26.916504°		 ← 1 073.57 m → N 28.497661°
E 26.927490°		 →
↑
1 073.64 m
↓
↑
1 073.64 m
↓
N 28.488005°
E 26.916504°		 ← 1 073.66 m →
1 152 676 m²		 N 28.488005°
E 26.927490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574783325195312 y=0.417373657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574783325195312 × 215)
    floor (0.574783325195312 × 32768)
    floor (18834.5)     		tx = 18834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417373657226562 × 215)
    floor (0.417373657226562 × 32768)
    floor (13676.5)     		ty = 13676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18834 / 13676 ti = "15/18834/13676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18834/13676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18834 ÷ 215
    18834 ÷ 32768     		x = 0.57476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13676 ÷ 215
    13676 ÷ 32768     		y = 0.4173583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57476806640625 × 2 - 1) × π
    0.1495361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46978162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4173583984375 × 2 - 1) × π
    0.165283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.519252496684448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46978162} λ = 0.46978162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519252496684448))-π/2
    2×atan(1.68077079826272)-π/2
    2×1.03408716871685-π/2
    2.0681743374337-1.57079632675     		φ = 0.49737801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46978162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.916504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49737801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.497661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18834 KachelY 13676 0.46978162 0.49737801 26.916504 28.497661
    Oben rechts KachelX + 1 18835 KachelY 13676 0.46997336 0.49737801 26.927490 28.497661
    Unten links KachelX 18834 KachelY + 1 13677 0.46978162 0.49720949 26.916504 28.488005
    Unten rechts KachelX + 1 18835 KachelY + 1 13677 0.46997336 0.49720949 26.927490 28.488005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49737801-0.49720949) × R
    0.000168520000000005 × 6371000     		dl = 1073.64092000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49737801-0.49720949) × R
    0.000168520000000005 × 6371000     		dr = 1073.64092000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46978162-0.46997336) × cos(0.49737801) × R
    0.000191739999999996 × 0.878836592803586 × 6371000     		do = 1073.56528542578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46978162-0.46997336) × cos(0.49720949) × R
    0.000191739999999996 × 0.878916985072001 × 6371000     		du = 1073.66349065448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49737801)-sin(0.49720949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878836592803586-0.878916985072001)×R²
    abs(0.46997336-0.46978162)×8.03922684147196e-05×R²
    0.000191739999999996×8.03922684147196e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.03922684147196e-05×40589641000000     		ar = 1152676.34202826m²