Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18833 / 11151
↖ ↑ ↗
← N 75.651792°
W 76.547241°		 ← 151.36 m → N 75.651792°
W 76.541748°		 →
↑
151.37 m
↓
↑
151.37 m
↓
N 75.650431°
W 76.547241°		 ← 151.38 m →
22 913 m²		 N 75.650431°
W 76.541748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287376403808594 y=0.170158386230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287376403808594 × 216)
    floor (0.287376403808594 × 65536)
    floor (18833.5)     		tx = 18833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170158386230469 × 216)
    floor (0.170158386230469 × 65536)
    floor (11151.5)     		ty = 11151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18833 / 11151 ti = "16/18833/11151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18833/11151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18833 ÷ 216
    18833 ÷ 65536     		x = 0.287368774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11151 ÷ 216
    11151 ÷ 65536     		y = 0.170150756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287368774414062 × 2 - 1) × π
    -0.425262451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.33600139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170150756835938 × 2 - 1) × π
    0.659698486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.07250391817351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33600139} λ = -1.33600139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07250391817351))-π/2
    2×atan(7.94469108998399)-π/2
    2×1.44558459411735-π/2
    2.89116918823469-1.57079632675     		φ = 1.32037286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33600139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.547241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32037286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.651792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18833 KachelY 11151 -1.33600139 1.32037286 -76.547241 75.651792
    Oben rechts KachelX + 1 18834 KachelY 11151 -1.33590552 1.32037286 -76.541748 75.651792
    Unten links KachelX 18833 KachelY + 1 11152 -1.33600139 1.32034910 -76.547241 75.650431
    Unten rechts KachelX + 1 18834 KachelY + 1 11152 -1.33590552 1.32034910 -76.541748 75.650431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32037286-1.32034910) × R
    2.37599999999283e-05 × 6371000     		dl = 151.374959999543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32037286-1.32034910) × R
    2.37599999999283e-05 × 6371000     		dr = 151.374959999543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33600139--1.33590552) × cos(1.32037286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.247814239297268 × 6371000     		do = 151.361906594622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33600139--1.33590552) × cos(1.32034910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.247837258095119 × 6371000     		du = 151.375966194829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32037286)-sin(1.32034910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247814239297268-0.247837258095119)×R²
    abs(-1.33590552--1.33600139)×2.3018797850799e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.3018797850799e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.3018797850799e-05×40589641000000     		ar = 22913.4666931447m²