Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18832 / 14717
↖ ↑ ↗
← N 69.905780°
W 76.552735°		 ← 209.87 m → N 69.905780°
W 76.547241°		 →
↑
209.86 m
↓
↑
209.86 m
↓
N 69.903893°
W 76.552735°		 ← 209.89 m →
44 045 m²		 N 69.903893°
W 76.547241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14717 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287361145019531 y=0.224571228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287361145019531 × 216)
    floor (0.287361145019531 × 65536)
    floor (18832.5)     		tx = 18832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224571228027344 × 216)
    floor (0.224571228027344 × 65536)
    floor (14717.5)     		ty = 14717
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18832 / 14717 ti = "16/18832/14717"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18832/14717.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18832 ÷ 216
    18832 ÷ 65536     		x = 0.287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14717 ÷ 216
    14717 ÷ 65536     		y = 0.224563598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.42529296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.33609727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224563598632812 × 2 - 1) × π
    0.550872802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73061795008327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33609727} λ = -1.33609727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73061795008327))-π/2
    2×atan(5.64414062817914)-π/2
    2×1.39544117843707-π/2
    2.79088235687413-1.57079632675     		φ = 1.22008603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33609727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.552735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22008603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.905780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18832 KachelY 14717 -1.33609727 1.22008603 -76.552735 69.905780
    Oben rechts KachelX + 1 18833 KachelY 14717 -1.33600139 1.22008603 -76.547241 69.905780
    Unten links KachelX 18832 KachelY + 1 14718 -1.33609727 1.22005309 -76.552735 69.903893
    Unten rechts KachelX + 1 18833 KachelY + 1 14718 -1.33600139 1.22005309 -76.547241 69.903893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22008603-1.22005309) × R
    3.29400000000923e-05 × 6371000     		dl = 209.860740000588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22008603-1.22005309) × R
    3.29400000000923e-05 × 6371000     		dr = 209.860740000588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33609727--1.33600139) × cos(1.22008603) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343564954326834 × 6371000     		do = 209.867160826541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33609727--1.33600139) × cos(1.22005309) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343595889046952 × 6371000     		du = 209.886057346109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22008603)-sin(1.22005309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343564954326834-0.343595889046952)×R²
    abs(-1.33600139--1.33609727)×3.09347201187249e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09347201187249e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09347201187249e-05×40589641000000     		ar = 44044.86049576m²