Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18832 / 13872
↖ ↑ ↗
← N 26.588527°
E 26.894531°		 ← 1 092.44 m → N 26.588527°
E 26.905518°		 →
↑
1 092.44 m
↓
↑
1 092.44 m
↓
N 26.578703°
E 26.894531°		 ← 1 092.54 m →
1 193 475 m²		 N 26.578703°
E 26.905518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574722290039062 y=0.423355102539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574722290039062 × 215)
    floor (0.574722290039062 × 32768)
    floor (18832.5)     		tx = 18832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423355102539062 × 215)
    floor (0.423355102539062 × 32768)
    floor (13872.5)     		ty = 13872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18832 / 13872 ti = "15/18832/13872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18832/13872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18832 ÷ 215
    18832 ÷ 32768     		x = 0.57470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13872 ÷ 215
    13872 ÷ 32768     		y = 0.42333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57470703125 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46939812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42333984375 × 2 - 1) × π
    0.1533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.481669967382324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46939812} λ = 0.46939812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481669967382324))-π/2
    2×atan(1.6187754484338)-π/2
    2×1.01742683437951-π/2
    2.03485366875902-1.57079632675     		φ = 0.46405734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46939812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46405734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.588527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18832 KachelY 13872 0.46939812 0.46405734 26.894531 26.588527
    Oben rechts KachelX + 1 18833 KachelY 13872 0.46958987 0.46405734 26.905518 26.588527
    Unten links KachelX 18832 KachelY + 1 13873 0.46939812 0.46388587 26.894531 26.578703
    Unten rechts KachelX + 1 18833 KachelY + 1 13873 0.46958987 0.46388587 26.905518 26.578703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46405734-0.46388587) × R
    0.000171470000000007 × 6371000     		dl = 1092.43537000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46405734-0.46388587) × R
    0.000171470000000007 × 6371000     		dr = 1092.43537000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46939812-0.46958987) × cos(0.46405734) × R
    0.000191750000000046 × 0.894243878653715 × 6371000     		do = 1092.44342123588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46939812-0.46958987) × cos(0.46388587) × R
    0.000191750000000046 × 0.89432061205525 × 6371000     		du = 1092.53716177098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46405734)-sin(0.46388587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894243878653715-0.89432061205525)×R²
    abs(0.46958987-0.46939812)×7.67334015345789e-05×R²
    0.000191750000000046×7.67334015345789e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.67334015345789e-05×40589641000000     		ar = 1193475.038744m²