Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18832 / 13678
↖ ↑ ↗
← N 28.478349°
E 26.894531°		 ← 1 073.82 m → N 28.478349°
E 26.905518°		 →
↑
1 073.83 m
↓
↑
1 073.83 m
↓
N 28.468691°
E 26.894531°		 ← 1 073.92 m →
1 153 153 m²		 N 28.468691°
E 26.905518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574722290039062 y=0.417434692382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574722290039062 × 215)
    floor (0.574722290039062 × 32768)
    floor (18832.5)     		tx = 18832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417434692382812 × 215)
    floor (0.417434692382812 × 32768)
    floor (13678.5)     		ty = 13678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18832 / 13678 ti = "15/18832/13678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18832/13678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18832 ÷ 215
    18832 ÷ 32768     		x = 0.57470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13678 ÷ 215
    13678 ÷ 32768     		y = 0.41741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57470703125 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46939812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41741943359375 × 2 - 1) × π
    0.1651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.518869001487488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46939812} λ = 0.46939812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518869001487488))-π/2
    2×atan(1.68012635431287)-π/2
    2×1.03391863849609-π/2
    2.06783727699218-1.57079632675     		φ = 0.49704095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46939812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49704095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.478349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18832 KachelY 13678 0.46939812 0.49704095 26.894531 28.478349
    Oben rechts KachelX + 1 18833 KachelY 13678 0.46958987 0.49704095 26.905518 28.478349
    Unten links KachelX 18832 KachelY + 1 13679 0.46939812 0.49687240 26.894531 28.468691
    Unten rechts KachelX + 1 18833 KachelY + 1 13679 0.46958987 0.49687240 26.905518 28.468691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49704095-0.49687240) × R
    0.00016854999999999 × 6371000     		dl = 1073.83204999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49704095-0.49687240) × R
    0.00016854999999999 × 6371000     		dr = 1073.83204999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46939812-0.46958987) × cos(0.49704095) × R
    0.000191750000000046 × 0.878997361916594 × 6371000     		do = 1073.81767796402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46939812-0.46958987) × cos(0.49687240) × R
    0.000191750000000046 × 0.879077718559408 × 6371000     		du = 1073.91584479288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49704095)-sin(0.49687240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878997361916594-0.879077718559408)×R²
    abs(0.46958987-0.46939812)×8.03566428141389e-05×R²
    0.000191750000000046×8.03566428141389e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.03566428141389e-05×40589641000000     		ar = 1153152.54852802m²