Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 18830 / 14719
↖ ↑ ↗
← N 69.902006°
W 76.563720°		 ← 209.88 m → N 69.902006°
W 76.558228°		 →
↑
209.92 m
↓
↑
209.92 m
↓
N 69.900118°
W 76.563720°		 ← 209.90 m →
44 062 m²		 N 69.900118°
W 76.558228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287330627441406 y=0.224601745605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287330627441406 × 216)
    floor (0.287330627441406 × 65536)
    floor (18830.5)     		tx = 18830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224601745605469 × 216)
    floor (0.224601745605469 × 65536)
    floor (14719.5)     		ty = 14719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18830 / 14719 ti = "16/18830/14719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18830/14719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18830 ÷ 216
    18830 ÷ 65536     		x = 0.287322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14719 ÷ 216
    14719 ÷ 65536     		y = 0.224594116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287322998046875 × 2 - 1) × π
    -0.42535400390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.33628901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224594116210938 × 2 - 1) × π
    0.550811767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73042620248479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33628901} λ = -1.33628901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73042620248479))-π/2
    2×atan(5.64305848152103)-π/2
    2×1.39540823659372-π/2
    2.79081647318743-1.57079632675     		φ = 1.22002015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33628901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.563720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22002015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.902006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18830 KachelY 14719 -1.33628901 1.22002015 -76.563720 69.902006
    Oben rechts KachelX + 1 18831 KachelY 14719 -1.33619314 1.22002015 -76.558228 69.902006
    Unten links KachelX 18830 KachelY + 1 14720 -1.33628901 1.21998720 -76.563720 69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 18831 KachelY + 1 14720 -1.33619314 1.21998720 -76.558228 69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22002015-1.21998720) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dl = 209.924450000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22002015-1.21998720) × R
    3.29500000000316e-05 × 6371000     		dr = 209.924450000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33628901--1.33619314) × cos(1.22002015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343626823394254 × 6371000     		do = 209.883061173156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33628901--1.33619314) × cos(1.21998720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 209.901961002306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22002015)-sin(1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343626823394254-0.343657766759656)×R²
    abs(-1.33619314--1.33628901)×3.09433654016589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09433654016589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09433654016589e-05×40589641000000     		ar = 44061.5699528496m²