Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1883 / 956
↖ ↑ ↗
← N 68.784144°
W 14.501953°		 ← 3 536.67 m → N 68.784144°
W 14.414063°		 →
↑
3 539.22 m
↓
↑
3 539.22 m
↓
N 68.752315°
W 14.501953°		 ← 3 541.73 m →
12 526 014 m²		 N 68.752315°
W 14.414063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1883 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4598388671875 y=0.2335205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4598388671875 × 212)
    floor (0.4598388671875 × 4096)
    floor (1883.5)     		tx = 1883
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2335205078125 × 212)
    floor (0.2335205078125 × 4096)
    floor (956.5)     		ty = 956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1883 / 956 ti = "12/1883/956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1883/956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1883 ÷ 212
    1883 ÷ 4096     		x = 0.459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 956 ÷ 212
    956 ÷ 4096     		y = 0.2333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.08056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25310683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2333984375 × 2 - 1) × π
    0.533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67510702032324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25310683} λ = -0.25310683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67510702032324))-π/2
    2×atan(5.33936653923039)-π/2
    2×1.3856530544555-π/2
    2.77130610891099-1.57079632675     		φ = 1.20050978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25310683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20050978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.784144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1883 KachelY 956 -0.25310683 1.20050978 -14.501953 68.784144
    Oben rechts KachelX + 1 1884 KachelY 956 -0.25157285 1.20050978 -14.414063 68.784144
    Unten links KachelX 1883 KachelY + 1 957 -0.25310683 1.19995426 -14.501953 68.752315
    Unten rechts KachelX + 1 1884 KachelY + 1 957 -0.25157285 1.19995426 -14.414063 68.752315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20050978-1.19995426) × R
    0.000555520000000032 × 6371000     		dl = 3539.2179200002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20050978-1.19995426) × R
    0.000555520000000032 × 6371000     		dr = 3539.2179200002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25310683--0.25157285) × cos(1.20050978) × R
    0.00153397999999999 × 0.361882572528031 × 6371000     		do = 3536.67352485231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25310683--0.25157285) × cos(1.19995426) × R
    0.00153397999999999 × 0.362400385565398 × 6371000     		du = 3541.73410471744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20050978)-sin(1.19995426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361882572528031-0.362400385565398)×R²
    abs(-0.25157285--0.25310683)×0.000517813037366532×R²
    0.00153397999999999×0.000517813037366532×6371000²
    0.00153397999999999×0.000517813037366532×40589641000000     		ar = 12526013.8859461m²