Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18826 / 19578
↖ ↑ ↗
← S 33.082337°
E 26.828614°		 ← 1 023.54 m → S 33.082337°
E 26.839599°		 →
↑
1 023.50 m
↓
↑
1 023.50 m
↓
S 33.091541°
E 26.828614°		 ← 1 023.44 m →
1 047 542 m²		 S 33.091541°
E 26.839599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574539184570312 y=0.597488403320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574539184570312 × 215)
    floor (0.574539184570312 × 32768)
    floor (18826.5)     		tx = 18826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597488403320312 × 215)
    floor (0.597488403320312 × 32768)
    floor (19578.5)     		ty = 19578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18826 / 19578 ti = "15/18826/19578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18826/19578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18826 ÷ 215
    18826 ÷ 32768     		x = 0.57452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19578 ÷ 215
    19578 ÷ 32768     		y = 0.59747314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57452392578125 × 2 - 1) × π
    0.1490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46824764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.1949462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.612441829545837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46824764} λ = 0.46824764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612441829545837))-π/2
    2×atan(0.542025717424302)-π/2
    2×0.496700313321338-π/2
    0.993400626642677-1.57079632675     		φ = -0.57739570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46824764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.828614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57739570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.082337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18826 KachelY 19578 0.46824764 -0.57739570 26.828614 -33.082337
    Oben rechts KachelX + 1 18827 KachelY 19578 0.46843938 -0.57739570 26.839599 -33.082337
    Unten links KachelX 18826 KachelY + 1 19579 0.46824764 -0.57755635 26.828614 -33.091541
    Unten rechts KachelX + 1 18827 KachelY + 1 19579 0.46843938 -0.57755635 26.839599 -33.091541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57739570--0.57755635) × R
    0.000160650000000095 × 6371000     		dl = 1023.50115000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57739570--0.57755635) × R
    0.000160650000000095 × 6371000     		dr = 1023.50115000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46824764-0.46843938) × cos(-0.57739570) × R
    0.000191739999999996 × 0.837887030438913 × 6371000     		do = 1023.54230166739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46824764-0.46843938) × cos(-0.57755635) × R
    0.000191739999999996 × 0.837799329839646 × 6371000     		du = 1023.43516876048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57739570)-sin(-0.57755635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837887030438913-0.837799329839646)×R²
    abs(0.46843938-0.46824764)×8.77005992665492e-05×R²
    0.000191739999999996×8.77005992665492e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.77005992665492e-05×40589641000000     		ar = 1047541.89975653m²