Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18826 / 13955
↖ ↑ ↗
← N 71.295509°
W 76.585693°		 ← 195.87 m → N 71.295509°
W 76.580200°		 →
↑
195.91 m
↓
↑
195.91 m
↓
N 71.293747°
W 76.585693°		 ← 195.89 m →
38 375 m²		 N 71.293747°
W 76.580200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287269592285156 y=0.212944030761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287269592285156 × 216)
    floor (0.287269592285156 × 65536)
    floor (18826.5)     		tx = 18826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212944030761719 × 216)
    floor (0.212944030761719 × 65536)
    floor (13955.5)     		ty = 13955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18826 / 13955 ti = "16/18826/13955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18826/13955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18826 ÷ 216
    18826 ÷ 65536     		x = 0.287261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13955 ÷ 216
    13955 ÷ 65536     		y = 0.212936401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.42547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.33667251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212936401367188 × 2 - 1) × π
    0.574127197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.80367378510423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33667251} λ = -1.33667251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80367378510423))-π/2
    2×atan(6.07191344432314)-π/2
    2×1.40756884925177-π/2
    2.81513769850354-1.57079632675     		φ = 1.24434137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33667251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.585693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24434137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.295509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18826 KachelY 13955 -1.33667251 1.24434137 -76.585693 71.295509
    Oben rechts KachelX + 1 18827 KachelY 13955 -1.33657664 1.24434137 -76.580200 71.295509
    Unten links KachelX 18826 KachelY + 1 13956 -1.33667251 1.24431062 -76.585693 71.293747
    Unten rechts KachelX + 1 18827 KachelY + 1 13956 -1.33657664 1.24431062 -76.580200 71.293747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24434137-1.24431062) × R
    3.07499999998573e-05 × 6371000     		dl = 195.908249999091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24434137-1.24431062) × R
    3.07499999998573e-05 × 6371000     		dr = 195.908249999091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33667251--1.33657664) × cos(1.24434137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320687238261918 × 6371000     		do = 195.871843125451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33667251--1.33657664) × cos(1.24431062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320716364053447 × 6371000     		du = 195.889632802709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24434137)-sin(1.24431062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320687238261918-0.320716364053447)×R²
    abs(-1.33657664--1.33667251)×2.91257915291387e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91257915291387e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91257915291387e-05×40589641000000     		ar = 38374.6525859588m²