Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18826 / 13930
↖ ↑ ↗
← N 26.017297°
E 26.828614°		 ← 1 097.78 m → N 26.017297°
E 26.839599°		 →
↑
1 097.85 m
↓
↑
1 097.85 m
↓
N 26.007424°
E 26.828614°		 ← 1 097.88 m →
1 205 253 m²		 N 26.007424°
E 26.839599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574539184570312 y=0.425125122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574539184570312 × 215)
    floor (0.574539184570312 × 32768)
    floor (18826.5)     		tx = 18826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425125122070312 × 215)
    floor (0.425125122070312 × 32768)
    floor (13930.5)     		ty = 13930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18826 / 13930 ti = "15/18826/13930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18826/13930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18826 ÷ 215
    18826 ÷ 32768     		x = 0.57452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13930 ÷ 215
    13930 ÷ 32768     		y = 0.42510986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57452392578125 × 2 - 1) × π
    0.1490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46824764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42510986328125 × 2 - 1) × π
    0.1497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.470548606670471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46824764} λ = 0.46824764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470548606670471))-π/2
    2×atan(1.60087220152306)-π/2
    2×1.01244191587156-π/2
    2.02488383174312-1.57079632675     		φ = 0.45408750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46824764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.828614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45408750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.017297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18826 KachelY 13930 0.46824764 0.45408750 26.828614 26.017297
    Oben rechts KachelX + 1 18827 KachelY 13930 0.46843938 0.45408750 26.839599 26.017297
    Unten links KachelX 18826 KachelY + 1 13931 0.46824764 0.45391518 26.828614 26.007424
    Unten rechts KachelX + 1 18827 KachelY + 1 13931 0.46843938 0.45391518 26.839599 26.007424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45408750-0.45391518) × R
    0.000172320000000004 × 6371000     		dl = 1097.85072000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45408750-0.45391518) × R
    0.000172320000000004 × 6371000     		dr = 1097.85072000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46824764-0.46843938) × cos(0.45408750) × R
    0.000191739999999996 × 0.898661663512955 × 6371000     		do = 1097.78310688311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46824764-0.46843938) × cos(0.45391518) × R
    0.000191739999999996 × 0.898737237040115 × 6371000     		du = 1097.87542565536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45408750)-sin(0.45391518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898661663512955-0.898737237040115)×R²
    abs(0.46843938-0.46824764)×7.55735271604774e-05×R²
    0.000191739999999996×7.55735271604774e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.55735271604774e-05×40589641000000     		ar = 1205252.65339309m²