Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18825 / 19579
↖ ↑ ↗
← S 33.091541°
E 26.817627°		 ← 1 023.49 m → S 33.091541°
E 26.828614°		 →
↑
1 023.44 m
↓
↑
1 023.44 m
↓
S 33.100745°
E 26.817627°		 ← 1 023.38 m →
1 047 422 m²		 S 33.100745°
E 26.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574508666992188 y=0.597518920898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574508666992188 × 215)
    floor (0.574508666992188 × 32768)
    floor (18825.5)     		tx = 18825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597518920898438 × 215)
    floor (0.597518920898438 × 32768)
    floor (19579.5)     		ty = 19579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18825 / 19579 ti = "15/18825/19579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18825/19579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18825 ÷ 215
    18825 ÷ 32768     		x = 0.574493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19579 ÷ 215
    19579 ÷ 32768     		y = 0.597503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574493408203125 × 2 - 1) × π
    0.14898681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46805589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.19500732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.612633577144318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46805589} λ = 0.46805589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612633577144318))-π/2
    2×atan(0.541921795258402)-π/2
    2×0.496619986112515-π/2
    0.99323997222503-1.57079632675     		φ = -0.57755635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46805589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.817627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57755635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.091541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18825 KachelY 19579 0.46805589 -0.57755635 26.817627 -33.091541
    Oben rechts KachelX + 1 18826 KachelY 19579 0.46824764 -0.57755635 26.828614 -33.091541
    Unten links KachelX 18825 KachelY + 1 19580 0.46805589 -0.57771699 26.817627 -33.100745
    Unten rechts KachelX + 1 18826 KachelY + 1 19580 0.46824764 -0.57771699 26.828614 -33.100745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57755635--0.57771699) × R
    0.000160639999999934 × 6371000     		dl = 1023.43743999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57755635--0.57771699) × R
    0.000160639999999934 × 6371000     		dr = 1023.43743999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46805589-0.46824764) × cos(-0.57755635) × R
    0.000191750000000046 × 0.837799329839646 × 6371000     		do = 1023.48854495605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46805589-0.46824764) × cos(-0.57771699) × R
    0.000191750000000046 × 0.837711613079229 × 6371000     		du = 1023.38138671865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57755635)-sin(-0.57771699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837799329839646-0.837711613079229)×R²
    abs(0.46824764-0.46805589)×8.77167604168561e-05×R²
    0.000191750000000046×8.77167604168561e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.77167604168561e-05×40589641000000     		ar = 1047421.66369508m²