Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18825 / 19575
↖ ↑ ↗
← S 33.054717°
E 26.817627°		 ← 1 023.92 m → S 33.054717°
E 26.828614°		 →
↑
1 023.82 m
↓
↑
1 023.82 m
↓
S 33.063924°
E 26.817627°		 ← 1 023.81 m →
1 048 252 m²		 S 33.063924°
E 26.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574508666992188 y=0.597396850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574508666992188 × 215)
    floor (0.574508666992188 × 32768)
    floor (18825.5)     		tx = 18825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597396850585938 × 215)
    floor (0.597396850585938 × 32768)
    floor (19575.5)     		ty = 19575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18825 / 19575 ti = "15/18825/19575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18825/19575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18825 ÷ 215
    18825 ÷ 32768     		x = 0.574493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19575 ÷ 215
    19575 ÷ 32768     		y = 0.597381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574493408203125 × 2 - 1) × π
    0.14898681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46805589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.19476318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.611866586750397
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46805589} λ = 0.46805589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611866586750397))-π/2
    2×atan(0.542337603509705)-π/2
    2×0.496941345389976-π/2
    0.993882690779952-1.57079632675     		φ = -0.57691364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46805589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.817627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57691364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.054717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18825 KachelY 19575 0.46805589 -0.57691364 26.817627 -33.054717
    Oben rechts KachelX + 1 18826 KachelY 19575 0.46824764 -0.57691364 26.828614 -33.054717
    Unten links KachelX 18825 KachelY + 1 19576 0.46805589 -0.57707434 26.817627 -33.063924
    Unten rechts KachelX + 1 18826 KachelY + 1 19576 0.46824764 -0.57707434 26.828614 -33.063924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57691364--0.57707434) × R
    0.000160700000000014 × 6371000     		dl = 1023.81970000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57691364--0.57707434) × R
    0.000160700000000014 × 6371000     		dr = 1023.81970000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46805589-0.46824764) × cos(-0.57691364) × R
    0.000191750000000046 × 0.838150062478779 × 6371000     		do = 1023.91701371428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46805589-0.46824764) × cos(-0.57707434) × R
    0.000191750000000046 × 0.83806239949602 × 6371000     		du = 1023.80992117376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57691364)-sin(-0.57707434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838150062478779-0.83806239949602)×R²
    abs(0.46824764-0.46805589)×8.76629827589737e-05×R²
    0.000191750000000046×8.76629827589737e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.76629827589737e-05×40589641000000     		ar = 1048251.5903362m²