Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18825 / 14037
↖ ↑ ↗
← N 24.956180°
E 26.817627°		 ← 1 107.58 m → N 24.956180°
E 26.828614°		 →
↑
1 107.60 m
↓
↑
1 107.60 m
↓
N 24.946219°
E 26.817627°		 ← 1 107.67 m →
1 226 799 m²		 N 24.946219°
E 26.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574508666992188 y=0.428390502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574508666992188 × 215)
    floor (0.574508666992188 × 32768)
    floor (18825.5)     		tx = 18825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428390502929688 × 215)
    floor (0.428390502929688 × 32768)
    floor (14037.5)     		ty = 14037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18825 / 14037 ti = "15/18825/14037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18825/14037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18825 ÷ 215
    18825 ÷ 32768     		x = 0.574493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14037 ÷ 215
    14037 ÷ 32768     		y = 0.428375244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574493408203125 × 2 - 1) × π
    0.14898681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46805589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428375244140625 × 2 - 1) × π
    0.14324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.450031613633087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46805589} λ = 0.46805589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.450031613633087))-π/2
    2×atan(1.56836176631988)-π/2
    2×1.00318191842682-π/2
    2.00636383685364-1.57079632675     		φ = 0.43556751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46805589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.817627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43556751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.956180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18825 KachelY 14037 0.46805589 0.43556751 26.817627 24.956180
    Oben rechts KachelX + 1 18826 KachelY 14037 0.46824764 0.43556751 26.828614 24.956180
    Unten links KachelX 18825 KachelY + 1 14038 0.46805589 0.43539366 26.817627 24.946219
    Unten rechts KachelX + 1 18826 KachelY + 1 14038 0.46824764 0.43539366 26.828614 24.946219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43556751-0.43539366) × R
    0.000173849999999975 × 6371000     		dl = 1107.59834999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43556751-0.43539366) × R
    0.000173849999999975 × 6371000     		dr = 1107.59834999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46805589-0.46824764) × cos(0.43556751) × R
    0.000191750000000046 × 0.906630741658569 × 6371000     		do = 1107.57569926698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46805589-0.46824764) × cos(0.43539366) × R
    0.000191750000000046 × 0.906704079617013 × 6371000     		du = 1107.66529179553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43556751)-sin(0.43539366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906630741658569-0.906704079617013)×R²
    abs(0.46824764-0.46805589)×7.33379584438865e-05×R²
    0.000191750000000046×7.33379584438865e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.33379584438865e-05×40589641000000     		ar = 1226798.63636629m²