Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18825 / 13923
↖ ↑ ↗
← N 26.086388°
E 26.817627°		 ← 1 097.19 m → N 26.086388°
E 26.828614°		 →
↑
1 097.21 m
↓
↑
1 097.21 m
↓
N 26.076520°
E 26.817627°		 ← 1 097.29 m →
1 203 906 m²		 N 26.076520°
E 26.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574508666992188 y=0.424911499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574508666992188 × 215)
    floor (0.574508666992188 × 32768)
    floor (18825.5)     		tx = 18825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424911499023438 × 215)
    floor (0.424911499023438 × 32768)
    floor (13923.5)     		ty = 13923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18825 / 13923 ti = "15/18825/13923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18825/13923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18825 ÷ 215
    18825 ÷ 32768     		x = 0.574493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13923 ÷ 215
    13923 ÷ 32768     		y = 0.424896240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574493408203125 × 2 - 1) × π
    0.14898681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46805589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424896240234375 × 2 - 1) × π
    0.15020751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.471890839859833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46805589} λ = 0.46805589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471890839859833))-π/2
    2×atan(1.6030223880269)-π/2
    2×1.01304484497148-π/2
    2.02608968994295-1.57079632675     		φ = 0.45529336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46805589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.817627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45529336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.086388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18825 KachelY 13923 0.46805589 0.45529336 26.817627 26.086388
    Oben rechts KachelX + 1 18826 KachelY 13923 0.46824764 0.45529336 26.828614 26.086388
    Unten links KachelX 18825 KachelY + 1 13924 0.46805589 0.45512114 26.817627 26.076520
    Unten rechts KachelX + 1 18826 KachelY + 1 13924 0.46824764 0.45512114 26.828614 26.076520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45529336-0.45512114) × R
    0.000172220000000001 × 6371000     		dl = 1097.21362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45529336-0.45512114) × R
    0.000172220000000001 × 6371000     		dr = 1097.21362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46805589-0.46824764) × cos(0.45529336) × R
    0.000191750000000046 × 0.89813206886382 × 6371000     		do = 1097.19338700801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46805589-0.46824764) × cos(0.45512114) × R
    0.000191750000000046 × 0.898207785123052 × 6371000     		du = 1097.28588496215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45529336)-sin(0.45512114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89813206886382-0.898207785123052)×R²
    abs(0.46824764-0.46805589)×7.57162592314176e-05×R²
    0.000191750000000046×7.57162592314176e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.57162592314176e-05×40589641000000     		ar = 1203906.27598238m²