Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18824 / 13911
↖ ↑ ↗
← N 26.204734°
E 26.806641°		 ← 1 096.08 m → N 26.204734°
E 26.817627°		 →
↑
1 096.07 m
↓
↑
1 096.07 m
↓
N 26.194877°
E 26.806641°		 ← 1 096.17 m →
1 201 429 m²		 N 26.194877°
E 26.817627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574478149414062 y=0.424545288085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574478149414062 × 215)
    floor (0.574478149414062 × 32768)
    floor (18824.5)     		tx = 18824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424545288085938 × 215)
    floor (0.424545288085938 × 32768)
    floor (13911.5)     		ty = 13911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18824 / 13911 ti = "15/18824/13911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18824/13911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18824 ÷ 215
    18824 ÷ 32768     		x = 0.574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13911 ÷ 215
    13911 ÷ 32768     		y = 0.424530029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574462890625 × 2 - 1) × π
    0.14892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46786414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424530029296875 × 2 - 1) × π
    0.15093994140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.474191811041595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46786414} λ = 0.46786414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474191811041595))-π/2
    2×atan(1.6067151431778)-π/2
    2×1.01407760967697-π/2
    2.02815521935395-1.57079632675     		φ = 0.45735889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46786414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45735889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.204734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18824 KachelY 13911 0.46786414 0.45735889 26.806641 26.204734
    Oben rechts KachelX + 1 18825 KachelY 13911 0.46805589 0.45735889 26.817627 26.204734
    Unten links KachelX 18824 KachelY + 1 13912 0.46786414 0.45718685 26.806641 26.194877
    Unten rechts KachelX + 1 18825 KachelY + 1 13912 0.46805589 0.45718685 26.817627 26.194877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45735889-0.45718685) × R
    0.00017204000000004 × 6371000     		dl = 1096.06684000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45735889-0.45718685) × R
    0.00017204000000004 × 6371000     		dr = 1096.06684000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46786414-0.46805589) × cos(0.45735889) × R
    0.000191749999999991 × 0.897221886758903 × 6371000     		do = 1096.08147282368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46786414-0.46805589) × cos(0.45718685) × R
    0.000191749999999991 × 0.897297842901807 × 6371000     		du = 1096.17426382913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45735889)-sin(0.45718685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897221886758903-0.897297842901807)×R²
    abs(0.46805589-0.46786414)×7.59561429041211e-05×R²
    0.000191749999999991×7.59561429041211e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.59561429041211e-05×40589641000000     		ar = 1201429.41183623m²