Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18820 / 14724
↖ ↑ ↗
← N 69.892565°
W 76.618652°		 ← 209.98 m → N 69.892565°
W 76.613159°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
N 69.890676°
W 76.618652°		 ← 210 m →
44 108 m²		 N 69.890676°
W 76.613159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287178039550781 y=0.224678039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287178039550781 × 216)
    floor (0.287178039550781 × 65536)
    floor (18820.5)     		tx = 18820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224678039550781 × 216)
    floor (0.224678039550781 × 65536)
    floor (14724.5)     		ty = 14724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18820 / 14724 ti = "16/18820/14724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18820/14724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18820 ÷ 216
    18820 ÷ 65536     		x = 0.28717041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14724 ÷ 216
    14724 ÷ 65536     		y = 0.22467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28717041015625 × 2 - 1) × π
    -0.4256591796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.33724775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22467041015625 × 2 - 1) × π
    0.5506591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72994683348859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33724775} λ = -1.33724775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72994683348859))-π/2
    2×atan(5.64035402250993)-π/2
    2×1.39532585602899-π/2
    2.79065171205798-1.57079632675     		φ = 1.21985539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33724775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.618652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21985539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.892565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18820 KachelY 14724 -1.33724775 1.21985539 -76.618652 69.892565
    Oben rechts KachelX + 1 18821 KachelY 14724 -1.33715188 1.21985539 -76.613159 69.892565
    Unten links KachelX 18820 KachelY + 1 14725 -1.33724775 1.21982242 -76.618652 69.890676
    Unten rechts KachelX + 1 18821 KachelY + 1 14725 -1.33715188 1.21982242 -76.613159 69.890676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21985539-1.21982242) × R
    3.296999999991e-05 × 6371000     		dl = 210.051869999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21985539-1.21982242) × R
    3.296999999991e-05 × 6371000     		dr = 210.051869999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33724775--1.33715188) × cos(1.21985539) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343781545880322 × 6371000     		do = 209.97756377539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33724775--1.33715188) × cos(1.21982242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34381250616049 × 6371000     		du = 209.996473935873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21985539)-sin(1.21982242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343781545880322-0.34381250616049)×R²
    abs(-1.33715188--1.33724775)×3.09602801681907e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09602801681907e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09602801681907e-05×40589641000000     		ar = 44108.1659899113m²