Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18820 / 13907
↖ ↑ ↗
← N 26.244156°
E 26.762695°		 ← 1 095.71 m → N 26.244156°
E 26.773682°		 →
↑
1 095.75 m
↓
↑
1 095.75 m
↓
N 26.234302°
E 26.762695°		 ← 1 095.80 m →
1 200 673 m²		 N 26.234302°
E 26.773682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574356079101562 y=0.424423217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574356079101562 × 215)
    floor (0.574356079101562 × 32768)
    floor (18820.5)     		tx = 18820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424423217773438 × 215)
    floor (0.424423217773438 × 32768)
    floor (13907.5)     		ty = 13907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18820 / 13907 ti = "15/18820/13907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18820/13907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18820 ÷ 215
    18820 ÷ 32768     		x = 0.5743408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13907 ÷ 215
    13907 ÷ 32768     		y = 0.424407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5743408203125 × 2 - 1) × π
    0.148681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46709715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424407958984375 × 2 - 1) × π
    0.15118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.474958801435516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46709715} λ = 0.46709715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474958801435516))-π/2
    2×atan(1.60794795097382)-π/2
    2×1.01442163167229-π/2
    2.02884326334457-1.57079632675     		φ = 0.45804694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46709715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.762695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45804694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.244156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18820 KachelY 13907 0.46709715 0.45804694 26.762695 26.244156
    Oben rechts KachelX + 1 18821 KachelY 13907 0.46728890 0.45804694 26.773682 26.244156
    Unten links KachelX 18820 KachelY + 1 13908 0.46709715 0.45787495 26.762695 26.234302
    Unten rechts KachelX + 1 18821 KachelY + 1 13908 0.46728890 0.45787495 26.773682 26.234302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45804694-0.45787495) × R
    0.000171990000000011 × 6371000     		dl = 1095.74829000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45804694-0.45787495) × R
    0.000171990000000011 × 6371000     		dr = 1095.74829000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46709715-0.46728890) × cos(0.45804694) × R
    0.000191749999999991 × 0.896917845293884 × 6371000     		do = 1095.71004383638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46709715-0.46728890) × cos(0.45787495) × R
    0.000191749999999991 × 0.896993885527208 × 6371000     		du = 1095.80293756999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45804694)-sin(0.45787495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896917845293884-0.896993885527208)×R²
    abs(0.46728890-0.46709715)×7.60402333245258e-05×R²
    0.000191749999999991×7.60402333245258e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.60402333245258e-05×40589641000000     		ar = 1200673.30390451m²