Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1882 / 1264
↖ ↑ ↗
← N 56.559482°
W 14.589844°		 ← 5 385.61 m → N 56.559482°
W 14.501953°		 →
↑
5 389.04 m
↓
↑
5 389.04 m
↓
N 56.511018°
W 14.589844°		 ← 5 392.51 m →
29 041 836 m²		 N 56.511018°
W 14.501953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4595947265625 y=0.3087158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4595947265625 × 212)
    floor (0.4595947265625 × 4096)
    floor (1882.5)     		tx = 1882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3087158203125 × 212)
    floor (0.3087158203125 × 4096)
    floor (1264.5)     		ty = 1264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1882 / 1264 ti = "12/1882/1264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1882/1264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1882 ÷ 212
    1882 ÷ 4096     		x = 0.45947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1264 ÷ 212
    1264 ÷ 4096     		y = 0.30859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45947265625 × 2 - 1) × π
    -0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30859375 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20264093766797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25464081} λ = -0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20264093766797))-π/2
    2×atan(3.32889673294267)-π/2
    2×1.27897275967083-π/2
    2.55794551934167-1.57079632675     		φ = 0.98714919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98714919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.559482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1882 KachelY 1264 -0.25464081 0.98714919 -14.589844 56.559482
    Oben rechts KachelX + 1 1883 KachelY 1264 -0.25310683 0.98714919 -14.501953 56.559482
    Unten links KachelX 1882 KachelY + 1 1265 -0.25464081 0.98630332 -14.589844 56.511018
    Unten rechts KachelX + 1 1883 KachelY + 1 1265 -0.25310683 0.98630332 -14.501953 56.511018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98714919-0.98630332) × R
    0.000845870000000026 × 6371000     		dl = 5389.03777000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98714919-0.98630332) × R
    0.000845870000000026 × 6371000     		dr = 5389.03777000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25464081--0.25310683) × cos(0.98714919) × R
    0.00153397999999999 × 0.55107097894133 × 6371000     		do = 5385.60928182105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25464081--0.25310683) × cos(0.98630332) × R
    0.00153397999999999 × 0.551776625016533 × 6371000     		du = 5392.50555144423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98714919)-sin(0.98630332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55107097894133-0.551776625016533)×R²
    abs(-0.25310683--0.25464081)×0.000705646075202404×R²
    0.00153397999999999×0.000705646075202404×6371000²
    0.00153397999999999×0.000705646075202404×40589641000000     		ar = 29041835.6945467m²