Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18818 / 14978
↖ ↑ ↗
← N 15.262988°
E 26.740722°		 ← 1 178.55 m → N 15.262988°
E 26.751709°		 →
↑
1 178.51 m
↓
↑
1 178.51 m
↓
N 15.252390°
E 26.740722°		 ← 1 178.61 m →
1 388 964 m²		 N 15.252390°
E 26.751709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574295043945312 y=0.457107543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574295043945312 × 215)
    floor (0.574295043945312 × 32768)
    floor (18818.5)     		tx = 18818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457107543945312 × 215)
    floor (0.457107543945312 × 32768)
    floor (14978.5)     		ty = 14978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18818 / 14978 ti = "15/18818/14978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18818/14978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18818 ÷ 215
    18818 ÷ 32768     		x = 0.57427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14978 ÷ 215
    14978 ÷ 32768     		y = 0.45709228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57427978515625 × 2 - 1) × π
    0.1485595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46671365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45709228515625 × 2 - 1) × π
    0.0858154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.269597123463196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46671365} λ = 0.46671365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269597123463196))-π/2
    2×atan(1.30943680308756)-π/2
    2×0.918592865383415-π/2
    1.83718573076683-1.57079632675     		φ = 0.26638940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46671365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.740722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26638940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.262988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18818 KachelY 14978 0.46671365 0.26638940 26.740722 15.262988
    Oben rechts KachelX + 1 18819 KachelY 14978 0.46690540 0.26638940 26.751709 15.262988
    Unten links KachelX 18818 KachelY + 1 14979 0.46671365 0.26620442 26.740722 15.252390
    Unten rechts KachelX + 1 18819 KachelY + 1 14979 0.46690540 0.26620442 26.751709 15.252390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26638940-0.26620442) × R
    0.000184980000000001 × 6371000     		dl = 1178.50758000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26638940-0.26620442) × R
    0.000184980000000001 × 6371000     		dr = 1178.50758000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46671365-0.46690540) × cos(0.26638940) × R
    0.000191750000000046 × 0.964727672738496 × 6371000     		do = 1178.54919057878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46671365-0.46690540) × cos(0.26620442) × R
    0.000191750000000046 × 0.964776352202058 × 6371000     		du = 1178.60865932214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26638940)-sin(0.26620442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964727672738496-0.964776352202058)×R²
    abs(0.46690540-0.46671365)×4.86794635624621e-05×R²
    0.000191750000000046×4.86794635624621e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.86794635624621e-05×40589641000000     		ar = 1388964.20064312m²