Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18817 / 19582
↖ ↑ ↗
← S 33.119150°
E 26.729736°		 ← 1 023.11 m → S 33.119150°
E 26.740722°		 →
↑
1 023.06 m
↓
↑
1 023.06 m
↓
S 33.128351°
E 26.729736°		 ← 1 023.01 m →
1 046 647 m²		 S 33.128351°
E 26.740722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574264526367188 y=0.597610473632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574264526367188 × 215)
    floor (0.574264526367188 × 32768)
    floor (18817.5)     		tx = 18817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597610473632812 × 215)
    floor (0.597610473632812 × 32768)
    floor (19582.5)     		ty = 19582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18817 / 19582 ti = "15/18817/19582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18817/19582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18817 ÷ 215
    18817 ÷ 32768     		x = 0.574249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19582 ÷ 215
    19582 ÷ 32768     		y = 0.59759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574249267578125 × 2 - 1) × π
    0.14849853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46652191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.1951904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.613208819939758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46652191} λ = 0.46652191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613208819939758))-π/2
    2×atan(0.541610148294916)-π/2
    2×0.496379054944916-π/2
    0.992758109889833-1.57079632675     		φ = -0.57803822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46652191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.729736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57803822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.119150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18817 KachelY 19582 0.46652191 -0.57803822 26.729736 -33.119150
    Oben rechts KachelX + 1 18818 KachelY 19582 0.46671365 -0.57803822 26.740722 -33.119150
    Unten links KachelX 18817 KachelY + 1 19583 0.46652191 -0.57819880 26.729736 -33.128351
    Unten rechts KachelX + 1 18818 KachelY + 1 19583 0.46671365 -0.57819880 26.740722 -33.128351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57803822--0.57819880) × R
    0.000160579999999966 × 6371000     		dl = 1023.05517999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57803822--0.57819880) × R
    0.000160579999999966 × 6371000     		dr = 1023.05517999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46652191-0.46671365) × cos(-0.57803822) × R
    0.000191739999999996 × 0.837536142027786 × 6371000     		do = 1023.11366496709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46652191-0.46671365) × cos(-0.57819880) × R
    0.000191739999999996 × 0.837448393219904 × 6371000     		du = 1023.00647316971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57803822)-sin(-0.57819880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837536142027786-0.837448393219904)×R²
    abs(0.46671365-0.46652191)×8.77488078822042e-05×R²
    0.000191739999999996×8.77488078822042e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.77488078822042e-05×40589641000000     		ar = 1046646.90536022m²