Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18817 / 14929
↖ ↑ ↗
← N 15.781682°
E 26.729736°		 ← 1 175.53 m → N 15.781682°
E 26.740722°		 →
↑
1 175.64 m
↓
↑
1 175.64 m
↓
N 15.771109°
E 26.729736°		 ← 1 175.59 m →
1 382 035 m²		 N 15.771109°
E 26.740722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574264526367188 y=0.455612182617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574264526367188 × 215)
    floor (0.574264526367188 × 32768)
    floor (18817.5)     		tx = 18817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455612182617188 × 215)
    floor (0.455612182617188 × 32768)
    floor (14929.5)     		ty = 14929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18817 / 14929 ti = "15/18817/14929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18817/14929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18817 ÷ 215
    18817 ÷ 32768     		x = 0.574249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14929 ÷ 215
    14929 ÷ 32768     		y = 0.455596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574249267578125 × 2 - 1) × π
    0.14849853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46652191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.455596923828125 × 2 - 1) × π
    0.08880615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.278992755788727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46652191} λ = 0.46652191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.278992755788727))-π/2
    2×atan(1.32179776845256)-π/2
    2×0.923119316520047-π/2
    1.84623863304009-1.57079632675     		φ = 0.27544231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46652191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.729736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27544231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.781682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18817 KachelY 14929 0.46652191 0.27544231 26.729736 15.781682
    Oben rechts KachelX + 1 18818 KachelY 14929 0.46671365 0.27544231 26.740722 15.781682
    Unten links KachelX 18817 KachelY + 1 14930 0.46652191 0.27525778 26.729736 15.771109
    Unten rechts KachelX + 1 18818 KachelY + 1 14930 0.46671365 0.27525778 26.740722 15.771109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27544231-0.27525778) × R
    0.000184530000000016 × 6371000     		dl = 1175.6406300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27544231-0.27525778) × R
    0.000184530000000016 × 6371000     		dr = 1175.6406300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46652191-0.46671365) × cos(0.27544231) × R
    0.000191739999999996 × 0.962304995562935 × 6371000     		do = 1175.52824459946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46652191-0.46671365) × cos(0.27525778) × R
    0.000191739999999996 × 0.962355166282773 × 6371000     		du = 1175.58953192364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27544231)-sin(0.27525778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962304995562935-0.962355166282773)×R²
    abs(0.46671365-0.46652191)×5.01707198385937e-05×R²
    0.000191739999999996×5.01707198385937e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.01707198385937e-05×40589641000000     		ar = 1382034.79591994m²