Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 18816 / 51584
↖ ↑ ↗
← S 71.300793°
W 76.640625°		 ← 195.84 m → S 71.300793°
W 76.635132°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
S 71.302554°
W 76.640625°		 ← 195.82 m →
38 340 m²		 S 71.302554°
W 76.635132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287117004394531 y=0.787117004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287117004394531 × 216)
    floor (0.287117004394531 × 65536)
    floor (18816.5)     		tx = 18816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787117004394531 × 216)
    floor (0.787117004394531 × 65536)
    floor (51584.5)     		ty = 51584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 18816 / 51584 ti = "16/18816/51584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/18816/51584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18816 ÷ 216
    18816 ÷ 65536     		x = 0.287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51584 ÷ 216
    51584 ÷ 65536     		y = 0.787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.287109375 × 2 - 1) × π
    -0.42578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.33763125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787109375 × 2 - 1) × π
    -0.57421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80396140650195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33763125} λ = -1.33763125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80396140650195))-π/2
    2×atan(0.164645367416431)-π/2
    2×0.163181365569021-π/2
    0.326362731138042-1.57079632675     		φ = -1.24443360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33763125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24443360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.300793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18816 KachelY 51584 -1.33763125 -1.24443360 -76.640625 -71.300793
    Oben rechts KachelX + 1 18817 KachelY 51584 -1.33753537 -1.24443360 -76.635132 -71.300793
    Unten links KachelX 18816 KachelY + 1 51585 -1.33763125 -1.24446433 -76.640625 -71.302554
    Unten rechts KachelX + 1 18817 KachelY + 1 51585 -1.33753537 -1.24446433 -76.635132 -71.302554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24443360--1.24446433) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24443360--1.24446433) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33763125--1.33753537) × cos(-1.24443360) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.320599878012355 × 6371000     		do = 195.838909971992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33763125--1.33753537) × cos(-1.24446433) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.320570769952761 × 6371000     		du = 195.821129270708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24443360)-sin(-1.24446433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320599878012355-0.320570769952761)×R²
    abs(-1.33753537--1.33763125)×2.91080595947735e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.91080595947735e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.91080595947735e-05×40589641000000     		ar = 38339.7637832725m²