Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18816 / 14975
↖ ↑ ↗
← N 15.294782°
E 26.718750°		 ← 1 178.37 m → N 15.294782°
E 26.729736°		 →
↑
1 178.38 m
↓
↑
1 178.38 m
↓
N 15.284185°
E 26.718750°		 ← 1 178.43 m →
1 388 604 m²		 N 15.284185°
E 26.729736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574234008789062 y=0.457015991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574234008789062 × 215)
    floor (0.574234008789062 × 32768)
    floor (18816.5)     		tx = 18816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457015991210938 × 215)
    floor (0.457015991210938 × 32768)
    floor (14975.5)     		ty = 14975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18816 / 14975 ti = "15/18816/14975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18816/14975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18816 ÷ 215
    18816 ÷ 32768     		x = 0.57421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14975 ÷ 215
    14975 ÷ 32768     		y = 0.457000732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57421875 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46633016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457000732421875 × 2 - 1) × π
    0.08599853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.270172366258636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46633016} λ = 0.46633016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270172366258636))-π/2
    2×atan(1.31019026386529)-π/2
    2×0.918870320682104-π/2
    1.83774064136421-1.57079632675     		φ = 0.26694431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46633016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26694431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.294782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18816 KachelY 14975 0.46633016 0.26694431 26.718750 15.294782
    Oben rechts KachelX + 1 18817 KachelY 14975 0.46652191 0.26694431 26.729736 15.294782
    Unten links KachelX 18816 KachelY + 1 14976 0.46633016 0.26675935 26.718750 15.284185
    Unten rechts KachelX + 1 18817 KachelY + 1 14976 0.46652191 0.26675935 26.729736 15.284185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26694431-0.26675935) × R
    0.000184960000000012 × 6371000     		dl = 1178.38016000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26694431-0.26675935) × R
    0.000184960000000012 × 6371000     		dr = 1178.38016000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46633016-0.46652191) × cos(0.26694431) × R
    0.000191749999999991 × 0.964581444204038 × 6371000     		do = 1178.37055206128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46633016-0.46652191) × cos(0.26675935) × R
    0.000191749999999991 × 0.964630217417108 × 6371000     		du = 1178.43013533271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26694431)-sin(0.26675935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964581444204038-0.964630217417108)×R²
    abs(0.46652191-0.46633016)×4.87732130697305e-05×R²
    0.000191749999999991×4.87732130697305e-05×6371000²
    0.000191749999999991×4.87732130697305e-05×40589641000000     		ar = 1388603.58950865m²